안녕하세요 seagull입니다. 오늘 포스팅을 두 개째 하네요ㅎㅎ 이번에는 암호화폐의 가치평가와 관련해 보몰-토빈 모델을 알아보고 그 한계점과 보완할 부분에 대해 알아보도록 하겠습니다. 잘못된 것 같거나 함께 이야기하고 싶은 부분은 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다!
아는 분 중 한분이 논스에서 발표하는 암호화폐 가치평가 모델 발표를 듣고 저한테 보몰-토빈 모델이란 것이 있다고 얘기를 해 주셔서 저도 바로 찾아보았습니다.
논스리서치 분들이 집필하신 보고서도 정말 잘 읽었습니다. 많은 참고가 되었습니다. 감사합니다.
https://drive.google.com/file/d/1AtAA6QyCZDNDekPvi5Yi9C6GeKV9OlT6/view 논스분들의 보고서 링크입니다.
보몰-토빈 모델이란?
보몰-토빈 모델은 원래 최적의 화폐 보유량을 계산하기 위해 나왔습니다.
말로 풀어서 설명하자면
‘내가 물건을 사기 위해서는 은행에 모든 돈을 맡겨놓을 수는 없어. 하지만 은행에 가는 데도 힘이 들고, 돈을 은행에서 찾아오는 만큼 이자수익을 기대할 수 없지. 그렇다면 내가 1년에 은행에 몇 번 방문해 돈을 찾아오는 것이 제일 이익이 클까?’
이러한 문제를 푼다고 생각하시면 됩니다.
이것을 조금 정리해 보자면 은행에 맡긴 돈은 최대로, 은행에 가는 횟수는 최소로 하는 문제입니다.
은행에 많이 가게 되면 돈을 조금씩 찾아올 수 있기 때문에 은행에 존재하는 돈의 양이 늘어나 이자율은 높겠지만, 그만큼 횟수가 늘어나 은행에 갈 때 발생하는 비용이 늘어나겠죠. 이 최적의 값을 구해야 합니다.
내가 1년동안 사용할 화폐의 양을 y로, 이자율을 i로, 은행에 가는 횟수를 n으로, 은행에 갈 때 소모되는 비용을 C로 생각합시다.
이것을 식으로 세워 보면,
Y/2n * i (은행에 맡겨놓지 않아 생기는 기회비용) + n * C (은행에 가는 데 드는 비용) 을 최소로 하는 값을 구하면 됩니다.
Y/2n * i 가 기회비용인 이유는 Y/2n 이 내가 은행에 맡겨놓지 않은 화폐의 1년치 평균이기 때문입니다. 저희는 직접 가지고 있는 화폐만큼 은행에서 이자를 받지 못하니 그에 따른 기회비용을 계산해야 합니다.
(위의 논스리서치 분들의 자료에 설명이 잘 되어있습니다)
여기서 이자율은 쉽게 변하지 않는다고 가정, C도 쉽게 변하지 않는다고 가정, 1년치 소비량이 정해져 있다면 Y도 변하지 않으므로 Y/2n * i + n * C 에서 값이 변하는 것은 n밖에 없게 됩니다.
n에 대한 함수는 n + 1/n 꼴이므로 이것을 그려보면
여기서 우리는 1사분면에 있는 함수만 신경쓰면 되니 n이 최적의 값(최솟값) 이 존재하는 것을 볼 수 있습니다.
이 점의 n을 구하려면 미분을 하면 되고, n에 대해서 미분을 하게 되면 -Y/2n^2 * i + C 의 모양이 나옵니다.
n에 대해 정리하면 n = √(yi/2c) 의 식이 나옵니다. 우리가 은행에 가는 최적의 횟수는 √(yi/2c) 라는 말입니다.
식을 다시금 살펴보면 y와 i가 클수록, 그리고 c가 작을수록 은행에 가는 횟수가 늘어납니다. 직관적으로 생각을 해 보면 당연히 금액이 크고(y) 이자를 많이 줄수록(i) 은행에 최대한 많이 가서 적은 양의 돈만 찾아와야겠죠. 그리고 은행에 가는데 힘이 드는 만큼(c) 은행에 최대한 적게 가야할겁니다.
만약 이 방정식을 암호화폐에 적용시킨다면 어떻게 될까요? 내가 1년동안 돈을 소지하고 있어야 하는 양인 y를 암호화폐로 서비스를 이용하기 위해서 들고 있는 암호화폐의 수로 생각하고 식을 적용해볼 수 있습니다.
그렇다면 모든 사람이 특정 암호화폐를 들고 있을 최적의 양은 y/2n 이고, 이에 앞의 n = √(yi/2c)을 대입하게 되면 √(YC/2i) 가 나오게 됩니다.
즉, 암호화폐의 시가총액을 √(YC/2i)로 구할 수 있다는 뜻이죠.
보몰-토빈 모델은 교환방정식과 달리 최적의 암호화폐 보유량이 결정된 후, 그에 따라 화폐유통속도 v가 결정됩니다. 앞의 글에서 교환방정식에서 v를 설정하는 문제점에 대해 말했었는데, 이는 v가 후천적으로 결정되므로 그러한 문제점이 상쇄됩니다.
보몰-토빈 모델의 문제점
하지만 이 모델도 역시나 문제점이 있습니다.
첫번째로, 위 식을 자세히 보게 되면 C가 커질수록 시총이 커지는 것을 확인할 수 있습니다.
일반적으로 생각해봤을 때 암호화폐를 구입할 때 소모되는 비용인 C가 커진다면, 그 암호화폐를 덜 쓰게 되어 시총이 작아지는 것이 정상입니다.
이것의 문제는 바로 우리가 지금까지는 Y/2n * i + n * C 라는 식에서 n을 제외한 나머지를 모두 상수로 두었기 때문입니다.
암호화폐는 달러나 원화와 같이 상품이나 서비스를 구입하기 위해 어쩔 수 없이 보유해야하는 화폐가 아닙니다. 암호화폐는 현재의 화폐나 기업과 경쟁하는 상태에 놓여있고, 당연히 경쟁력이 떨어지면 우리는 암호화폐를 사용하지 않으려 할 것이고, Y값이 작게 변하게 될 것입니다.
암호화폐의 시가총액을 √(YC/2i)로 생각했을 때, C가 커지면 함께 Y가 작아져서 단순히 ‘C가 커지면 시총도 증가한다’라고 얘기할 수 없는 것이죠.
그렇다면 Y와 C에 관한 식을 알아야 다음 방정식을 이용해 미래의 암호화폐 시총을 예상할 수 있는데, 이 식을 유추하기가 쉽지 않습니다.
두번째로, 보몰-토빈모델은 암호화폐의 가치를 ‘절대평가’의 방식으로 계산하는 모델입니다. 다른 암호화폐와 비교하는 상대평가 모델이 아니기 때문에 최적의 값 n을 구하는데 있어서 모든 변수를 생각해봐야 합니다.
암호화폐를 하나의 ‘서비스를 이용하기 위한 수단’이라고 생각한다면 암호화폐의 가치 변동에 따라 ‘서비스를 이용했을 때 얻는 가치’가 달라질 가능성이 존재합니다.
이를테면 기존 서비스를 이용할 때 비용이 1달러이고, 암호화폐로 동일한 서비스를 이용할 때 사용되는 비용은 0.5달러지만 암호화폐의 가치가 낮아짐에 따라서 서비스를 이용할 때 사용되는 비용이 0.4달러나 0.3달러로 낮아질 수 있습니다. 기존엔 암호화폐로 얻을 수 있는 이득이 0.5달러였으나, 암호화폐의 가치가 변하면서 이득이 0.6, 0.7달러로 증가한 것입니다. 이러한 실제 얻을 수 있는 가치의 양도 함께 고려해야 합니다.
또한 암호화폐를 들고 있을 때 발생하는 이득도 함께 고려해야 합니다.
예를 들어, Waves라는 코인을 들고 있으면 이자를 주는데, 이 기회비용도 식에 포함시켜야 합니다.
암호화폐가 가지고 있는 특성에 따라 식에 변수가 추가되어야 한다는 것입니다.
