Ein Vektorraum besteht aus einer Struktur (Vektor, Matrix, Polynom,...) und erlaubt die Vektoraddition sowie die Skalarmultiplikation. Die Skalarmultiplikation ist nicht zu verwechseln mit der Multiplikation zwischen zwei Zahlen. Skalar bedeutet, dass ein Vektor (oder ein anderer Körper) mit einem vielfachen multipliziert wird.
Um zu zeigen, dass eine Struktur ein Vektorraum ist, müssen verschiedene Bedingungen erfüllt werden, genauso wie bei Gruppen, Ringe und Körper.
Im folgenden Beispiel wird gezeigt, dass die Polynome vom maximalen Grad n ein Vektorraum darstellen.
Zunächst zeigt man, dass die Polynome vom Grad n eine abelsche Gruppe sind. Dann folgen noch die restlichen Axiome wie die Assoziativität, Distributivität und das Einselement.
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