Mit der Gammafunktion lassen sich Fakultäten von rationale, reelle oder komplexe Zahlen berechnen. In diesem Beitrag möchte ich zusammen mit Xiaozan die Gammafunktion vorstellen und schriftlich die Fakultät von 1/2 berechnen.
Die Gammafunktion ist definiert als das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich und hat als Funktion das Produkt mit t hoch z-1 und e hoch t. t ist die unbekannte und z kann beliebig gewählt werden.
Wir setzen als z den Wert 0,5 und vereinfachen das Integral. Die negativ gebrochene Potenz wird umgeschrieben.
Dann wird die Wurzel aus t durch u substituiert und daraus folgt u^2=t. Die Wurzel aus t wird differenziert und die Gleichung nach dt aufgelöst. Die neuen Integrationsgrenzen sind dieselben wie die alten, denn die Wurzel aus 0 ist 0 und der Grenzwert der Wurzel gegen unendlich ist immer noch unendlich.
Nun werden alle t durch u ersetzt. Die Wurzel aus t im Nenner kann gekürzt werden. Es bleibt das Integral von 0 bis unendlich aus e hoch -u hoch 2 übrig. Es handelt sich dabei um das Gauss-Integral mit der Lösung Wurzel pi.
Das nächste Mal gibt es ein Beispiel wofür die Gammafunktion als Hilfsmittel benutzt werden kann.
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