TU မွာ သခ်ၤာဘာလို႔သင္ရလဲ ။ ရွိတ္လိုက္ Integrate လုပ္လိုက္ခ်ည္း သင္ေနရတာ ဘာေတြအသံုးဝင္လဲ ေမးၾကေသာ ခ်စ္တပည့္မ်ား ဖတ္ၾကည့္ၾကပါရန္။
#Engineering_ႏွင့္_Calculus_1
…………………………………………………………
Engineering တကၠသိုလ္ တစ္ခုခုတြင္တက္ေရာက္ေနေသာ ေက်ာင္းသူေက်ာင္းသားမ်ား ႏွင့္ BE,ME စသည္ၿဖင့္ Degree တစ္ခုခုႏွင့္ ေက်ာင္းၿပီးကာစ Engineer တက္သစ္စမ်ားအၿပင္ ၊ Engineering ပညာရပ္ကို ထဲထဲ၀င္၀င္ေလ့လာခ်င္စိတ္ရွိေသာ Engineer မ်ားအတြက္ပါ ရည္ရြယ္၍ ေရးပါသည္ ။
ေက်ာင္းတြင္သင္ၾကားခဲ့ရေသာ သခ်ႍာပညာရပ္တြင္ ဘာ့ေၾကာင့္ ထိုကဲ့သို့ေသာ သင္ခန္းစာမ်ားကို သင္ၾကားခဲ့ရသလဲဆိုေသာ concept မ်ားအားနည္းခဲ့ၾကသၿဖင့္ က်ြန္ေတာ္တို ့ရဲ့ သခ်ႍာပညာရပ္ အသိသညာေတြဟာ Engineering ႏွင့္ ဘာမွ်မဆိုင္ သပ္သပ္စီၿဖစ္ေနခဲ့သည္ ။ ကိန္းဂဏန္း ေပါင္း ၊ ႏွုတ္ ၊ ေၿမွာက္ ၊ စား ႏွင့္ သာမန္ ၂ထပ္ကိန္းရင္း စသည္တို့ေလာက္သာ လက္ေတြ ့ဘ၀တြင္ အသံုးခ်နိုင္ခဲ့သည္ ။
Engineering ေက်ာင္းသားအေနၿဖင့္လည္း Differentiate လုပ္သည္ ဘာ့ေၾကာင့္ Integrate လုပ္ၾကသည္ကို ယေန ့ အထိ Engineer မ်ားတြင္ မသိသူ 99% ရွိသည္ ။ Mathematics တြင္ အသိသညာနည္းလြန္းခဲ့ေသာေၾကာင့္ Mathematic ႏွင့္ Physic တို ့ၿဖင့္တည္ေဆာက္ထားေသာ Engineering ပညာရပ္မ်ားတြင္ ၿမန္မာအင္ဂ်င္နီယာ ေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ား အမည္ခံဘြဲ ့ၿဖင့္ Engineering ဆိုတာဘာမွန္းမသိပဲ လမ္းဆံုးခဲ့ၾကသည္ ။ ထို ့ေၾကာင့္ Engineering ပညာရပ္တြင္ မပါမၿဖစ္ေသာ Calculus အေၾကာင္း အသိသညာအေနၿဖင့္ ေလ့လာမိသေလာက္ မ်ွေ၀လိုက္ပါသည္ ။
Engineering ေလာကတြင္ Calculus သည္ Engineering ေက်ာင္းသားအေနနွင့္ေရာ Engineer တစ္ေယာက္အတြက္ပါ ရင္းႏွီးေနေသာ သခ်ၤာပညာရပ္တစ္ခုၿဖစ္သည္ ။ f(x) ေတြကိုၿမင္မေကာင္းေအာင္ပင္ BE တန္းေရာက္သည္အထိ ME တန္းေရာက္သည္အထိ ေလ့လာၾကရသည္ ။ Calculator တြင္ Differentiate ေတြ Integrate ကို f(x) မ်ားစြာတြင္သံုး၍ အေၿဖရွာခဲ့ၾကရသည္မွာ Engineering ေက်ာင္းတက္ဖူးသူ ေက်ာင္းသားတိုင္း အခန္းထဲရွိ အဆင့္ ၁ ေက်ာင္းသား မွစ၍ ေနာက္ဆံုးအဆင့္ ေက်ာင္းသားအထိ ၿငင္းမရနိုင္ေသာ ကိစၥတစ္ရပ္ၿဖစ္သည္ ။ သို့ေပမယ့္ ဘာ့ေၾကာင့္ Differentiate ေတြ integrate ေတြ Function ေတြ Parabolic ေတြ ဘာ့ေၾကာင့္သံုးရမွန္းမသိ ၊ ဘာအတြက္သံုးရမွန္းလဲ မသိ ၊ ဘာ့ေၾကာင့္ ၿဖစ္ေပၚလာမွန္းလဲမသိခဲ့ ။ ထို ့ေၾကာင့္ပင္ သခ်ႍာနည္းေတြၿဖင့္ အေၿခခံတည္ေဆာက္ထားေသာ Engineering ပညာရပ္ က်ြပ္ႏ္ုပ္တို့ ဘာမ်ွမသိခဲ့ၿခင္းၿဖစ္သည္ ။ International Company မ်ားအလယ္တြင္ Engineer တစ္ေယာက္အေနၿဖင့္ ကိုယ္ယူခဲ့ေသာ degree ေပၚတြင္ Professional အၿဖစ္ရပ္တည္ခ်င္လာေသာအခါမွ ထဲထဲ၀င္၀င္ေလ့လာၿဖစ္ေသာအခါ Engineering ၏ အနွစ္ၿဖစ္ေသာ သီအိုရီမ်ားတြင္ ဒုကၡေတြ ့ရေတာ့သည္။ ၄င္းဒုကၡသည္ သီအိုရီ ေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားတြင္ Calculus မ်ားပါ၀င္ေနၿခင္းနွင့္ ဘာ့ေၾကာင့္ ဒါေတြသံုးေနရသလဲဆိုတာကို မသိခ်င္းပင္ၿဖစ္ေတာ့သည္ ။
What is Calculus ?
Calculus သည္ ေၿပာင္းလဲၿခင္းကို ေလ့လာၿခင္းပင္ၿဖစ္သည္ ။Calculus သည္ က်ြႏ္ုပ္တို ့ေနထိုင္ေသာ ကမၻာေၿမၾကီး၏ ေၿပာင္းလဲမွုမ်ားကို ခြဲၿခမ္းစိတ္ၿဖာရန္ ကူညီေပးသည့္အတြက္ အေရးၾကီးပါသည္။ Calculus ကို ကမၻာ့ဆြဲအား ၊ လက္နက္မ်ား ၊ ေလထဲတြင္ပ်ံသန္းၿခင္းဆိုင္ရာမ်ား ၊ ကမၻာ့ေလထု ေရြ့လ်ားၿခင္းမ်ား ၊ အသံ ၊ အလင္း ၊ လွ်ပ္စစ္ဆိုင္ရာမ်ား ၊ သံလိုက္ ၊ လူဦးေရ တိုးပြားလာမွူ ၊ ရင္းၿမစ္ ခြဲေ၀မွူမ်ား ႏွင့္ ေစ်းႏွုန္း ေလ်ာ့ခ်မွူမ်ား စသည္တို့ကို ေလ့လာရာတြင္ သံုးေလ့ရွိသည္ ။ ၁၇ ရာစု ေနာက္ပိုင္းမွ ေခာတ္မွီ လာေသာအခ်ိန္မ်ားအထိ သိပၸံႏွင့္ နည္းပညာဆိုင္ရာ ဖြံ ့ၿဖိုးမွူမ်ားကို Calculus ႏွင့္ ဆက္ႏြယ္ထားသည္။
Isaac Newton နဲ့ Gottfried Wilhelm Leibniz တို့သည္ calculus ကို တည္ထြင္ခဲ့ၾကသည္။သူတို့၏ စိတ္ကူးစိတ္သန္းေတြကို အေစာပိုင္း ေလ့လာမွူမ်ားၿဖစ္ၾကတဲ့ ေရြ ့လ်ားၿခင္း ႏွင့္ ဧရိယာမ်ား ေပၚတြင္ တည္ေဆာက္ခဲ့ၾကသည္ ။
Calculus သည္ အရာ၀တၳဳမ်ား ေၿပာင္းလဲၿခင္းႏွင့္ ၄င္းတို့ေၿပာင္းလဲေသာႏွုန္း ကိုေလ့လာၿခင္းၿဖစ္ေသာေၾကာင့္ ၊ က်ြႏု္ပ္တို့သည္ ႏွုန္းမ်ားႏွင့္ ၄င္းႏွင့္ နီးကပ္စပ္ဆက္ေနေသာ အခ်ိဴးမ်ား ( Ratios ) ႏွင့္ တူညီေသာ ၾတိဂံမ်ား ( Similar Triangles ) မ်ားအေၾကာင္းကို ၿပန္လည္ဆန္းစစ္ၾကမည္ ။ Parabola သည္ Calculus ကိုတီထြင္ရၿခင္း၏ အေၾကာင္းရင္းခံၿဖစ္ေသာ ေမးခြန္း တစ္ရပ္တြင္ပါ၀င္ေသာေၾကာင့္ ကၽႊနူ္ပ္တို ့ parabola မ်ဥ္းေကြးမ်ားကိုလည္း ၿပန္လည္ဆန္းစစ္ၾကမည္။ Calculus ၏ ပင္မ အသိသညာမ်ားတြင္ secant lines မ်ားနွင့္ ၄င္းတို ့၏ Slopes မ်ားနွင့္ functional notation အသံုးၿပုမွူမ်ားပါ၀င္ေသာေၿကာင့္ ထိုေခါင္းစဥ္မ်ားကိုလဲ ေလ့လာခဲ့ၾကသည္ ။ ၁၀ တန္း သခ်ၤာ အခန္း(၁) မွစ၍ Function f(x) မ်ားကို ေလ့လာခဲ့ၾကသည္ ။ Parabola မ်ဥ္းေကြးမ်ားကို ေလ့လာခဲ့ၾကသည္ ။ အခ်ိဴးမ်ား ၊ ႏွုန္းမ်ား စသည္တို ့ကို ၅ တန္းသခ်ၤာမွစ၍ သင္ယူခဲ့ၾကရသည္ ။
အခ်ိဴး တစ္ခု ( Ratio ) ဆိုသည္မွာ ပမာဏ ၂ ခုကို ႏွိုင္းယွဥ္မွူတစ္ခု ၿဖစ္သည္။မ်ားေသာအားၿဖင့္ အပိုင္းကိန္းၿဖင့္ ၿပေလ့ရွိသည္ ။ အပိုင္းကိန္းကို rational number ဟုေခၚေလ့ရွိသည္ ။ rational ၏ အဓိပၸါယ္တစ္မ်ိဴးမွာလဲ အခ်ိဴးမ်ားၿဖင့္ ၿပုလုပ္ေနရၿခင္း ဟူ၍ၿဖစ္သည္ ။ ေကာလိပ္တစ္ခုတြင္ က်ား၂ အခ်ိဴး မ၃ ရွိရမယ္ ဆိုရာတြင္ အားလံုးေပါင္း ၅၀၀၀ ရွိလ်ွင္ က်ား ၂၀၀၀ မ ၃၀၀၀ ရွိရမည္ၿဖစ္သည္ ။ထိုမွသာ 2/3 အခ်ိဴးၿဖစ္မည္။ ၄င္းသည္ အခ်ိဴးက်ၿခင္း ဥပမာတစ္ခုၿဖစ္သည့္အၿပင္ အခ်ိဴး ၂ ခု၏ တူညီၿခင္းသေဘာၿဖစ္သည္ ။
ႏွုန္း တစ္ခု ( Rate ) သည္ အတိုင္းအတာ ပံုစံ တစ္ခုအေနၿဖင့္ သံုးေသာ အခ်ိုးတစ္ခုၿဖစ္သည္ ။လူုတစ္ေယာက္ ၁နာရီအၾကာတြင္ ၄၅ မိုင္ခရီးကားေမာင္းလ်ွင္ အကြာအေ၀းနွင့္ ၾကာခ်ိန္ အခ်ိဴးတို ့သည္ distance/time = ( 45 miles)/ ( 1 hour ) = 45 miles per hour ၿဖစ္သည္။၄င္းသည္ ယာဥ္ေမာင္း၏ ပ်မ္းမ်ွ အလွ်င္ သို့မဟုတ္ ပ်မ္းမ်ွႏွုန္း ( Average Rate ) ၿဖစ္သည္။
၄င္းသေဘာမ်ားကိုက်ြန္ေတာ္တို ့ state ေက်ာင္းတြင္ကတည္းက ေနာေက်ေအာင္သင္ခဲ့ ၾကရသည္။ Calculus သည္၄င္းတို ့ႏွင့္ ဆက္ႏြယ္ေနေပသည္ ။
Trigonometry သည္လည္း Calculus တြင္အေရးပါေသာ အခန္းတစ္ခုၿဖစ္သည္ ။ ၾတိဂံေပါင္းမ်ားစြာကို ေရးဆြဲ၍ ေထာင့္မ်ား အနားမ်ား စသည္တို့ကို sine ၊ cos စသည္ၿဖင့္ တြက္ခဲ့ၾကရသည္ ။ အၿမည္းအေနၿဖင့္
Similar Triangles ( တူညီေသာ ၾတိဂံမ်ား )
ၾတိဂံတစ္ခုကို အၾကီးခ်ဲ့လ်င္ အရြယ္အစားသည္ ပိုမိုၾကီးလာေသာ္လည္း ေထာင့္မ်ားသည္ ပိုမိုၾကီးမလာေပ . ၄၅ ံ ၄၅ ံ ၉၀ ံ ရွိေသာ ၾတိဂံ တစ္ခု၏ အနားမ်ားကို ၂ဆ တိုးလိုက္ေသာ္လည္း ေထာင့္မ်ားသည္ မေၿပာင္းေပ ၄၅ ံ ၄၅ ံ ၉၀ အတိုင္းသာရွိမည္ ။ ထိုၾတိဂံ ၂ ခုကို တူညီေသာ ၾတိဂံမ်ားဟုေခၚသည္ ။ပံုစံတူသည္ ၊ ေထာင့္တူသည္ ၊ အနားအရြယ္အစားကြဲသည္ ။
တူညီေသာ ၾတိဂံ၂ခု၏ တူညီေသာ အနားအခ်ိဴးမ်ား အားလံုးသည္ အၿမဲ တူညီၿကသည္ ။
Similar Triangles and the Great Pyramid ( တူညီေသာ ၾတိဂံမ်ား ႏွင့္ မဟာ ပိရမစ္ )
တူညီေသာ ၾတိဂံမ်ား၏ တူညီေသာ အနားမ်ား အခ်ိဴးတို ့သည္ အစဥ္အၿမဲ တူညီေနသည္ဆိုေသာ အခ်က္ကို B.C 600 ပတ္၀န္းက်င္တြင္ ဂရိ သခ်ႍပညာရွင္ Thales က ပထမဦးဆံုး ထင္ရွားေစခဲ့သည္ ။သူသည္ ထိုအခ်က္ကို Cheops ၏ မဟာပိရမစ္ၾကီး၏ အၿမင့္ကို တိုင္းတာရာတြင္ အသံုးၿပုခဲ့သည္ ။တိုင္တစ္ေခ်ာင္းကို ပိရမစ္ၾကီး၏ ညာဖက္ ေၿမၿပင္ေပၚတြင္ က်ေနေသာ ပိရမစ္၏အရိပ္ ထိပ္တြင္ဖ်ားေနရာတြင္ ထိုးစိုက္ခဲ့သည္ ။၄င္းသည္ တူညီေသာ ၾတိဂံ၂ခုကို ဖန္တီးေစသည္ ။တစ္ခုသည္ ပိရမစ္နွင့္ ၄င္း၏အရိပ္မွျဖစ္ၿပီး ၊ က်န္တစ္ခုသည္ တိုင္နွင့္ တိုင္၏အရိပ္ေၾကာင့္ၿဖစ္သည္ ။က်ြႏု္ပ္တို့ ပိရမစ္၏ အၿမင့္ကို H ( Height ) , အေၿခကို b ( Base ) , အရိပ္၏အလ်ား ကို S အၿဖစ္ယူဆၾကမည္ ။
၄င္းနည္းၿဖင့္ Thales သည္ မဟာပိရမစ္ၾကီး၏ အၿမင့္ကိုတြက္ထုတ္ႏိုင္ခဲ့သည္ ။
Calculus တြင္အေရးပါေသာ parabola အေၾကာင္းအနည္းငယ္ကို ေလ့လာၾကည့္ၾကမည္ ။
Parabolas ( ပါရာဘိုလာ မ်ဥ္းေကြးမ်ား )
Parabola သည္အၿမဲတမ္း မ်ဥ္းေကြးပံုစံရွိသည္ ။Parabola တစ္ခုသည္ က်ဥ္းေသာမ်ဥ္းေကြးေသာ္၄င္း ၊ က်ယ္ေသာမ်ဥ္းေကြးေသာ္၄င္း ၊ မ်ဥ္းေကြး၏ ထိပ္ဖက္သည္ အေပၚတြင္ေသာ္၄င္း ၊ ေအာက္တြင္ေသာ္၄င္း ရွိႏိုင္ေသာ္လည္း ပါရာဘိုလာမ်ဥ္းေကြးမ်ားသည္ အၿမဲတူညီေသာ ပံုစံမ်ားရွိၾကသည္ ။
Parabola ပံုသဏၰန္ တစ္ခု၏အေရးၾကီးေသာ အခန္းတစ္ခုမွာ ၄င္းသည္ ေခါက္ခ်ိဴးညီၿခင္း ( Symmetrical )ပင္ၿဖစ္သည္။ မ်ဥ္း၏ တဖက္ၿခမ္း သည္ တၿခားတစ္ဖက္၏ မွန္တြင္ေပၚေနေသာ အရိပ္ၿဖစ္ေစရန္ မွန္တစ္ခ်က္ကို ထားသကဲ့သို့ မ်ဥ္းလိုင္းတစ္ခု ရွိသည္ ။ ၄င္းမ်ဥ္းကို ေခါက္ခ်ိဴးညီမ်ဥ္း ( Line of Symmetry) ဟုေခၚသည္။ Parabola ကို ေခါက္ခ်ိဴးညီမ်ဥ္း ကန္ ့လန့္ၿဖတ္ေသာ အမွတ္ကို vertex ဟုေခၚသည္။
Parabola တစ္ခု၏ Equation တစ္ခုတြင္ ဆခြဲကိန္း ေဖာ္ၿပခ်က္ ( quadratic expression ) အၿမဲပါ၀င္သည္ ။ပံုမွန္အတိုင္းဆိုလ်ွင္ ၄င္းသည္ y=ax2+bx+c သို ့မဟုတ္ x=ay2 + by + c တစ္ခုမဟုတ္တစ္ခုၿဖစ္သည္။ vertex အမွတ္ပါ၀င္ေသာ အမွတ္မ်ားကို ရွာၿပီး က်ြႏု္ပ္တို ့ point မ်ားကို ပံုစံခ်ၿခင္းၿဖင့္ parabola ဂရပ္တစ္ခုကို ဆြဲသားႏိုင္သည္ ။
Secant Lines and Their Slopes ( မ်ဥ္းေကြးကို ၿဖတ္ေသာ မ်ဥ္းမ်ားႏွင့္ ၄င္းတို ့၏ စလုပ္မ်ား )
Slope ဆိုသည္မွာ y၏ေၿပာင္းလဲၿခင္းႏွင့္ x၏ ေၿပာင္းလဲၿခင္း အခ်ိဴးပင္ၿဖစ္သည္ ။
Secant ဆိုသည္မွာမ်ဥ္းေကြးေပၚတြင္ အနည္းဆံုး ကန့္လန္ ့ၿဖတ္အမွတ္၂ခု ရွိေသာ မ်ဥ္းကိုေခၚသည္ ။
Functions ( အၿခားတန္ဖိုး အေၿပာင္းအလဲေပၚမူတည္ေနေသာ ပမာဏမ်ား )
X မွ Y သုိ ့သြားေသာ function တစ္ခုသည္ y ၏တန္ဖိုးတစ္ခုကို x ၏တန္ဖိုးတစ္ခုခ်င္းစီသို ့ ဆက္ဆက္ေနေသာ စည္းမ်ဥ္းတစ္ခုၿဖစ္သည္ ။equation Y=3x-5 သည္ function တစ္ခုၿဖစ္သည္ ။အဘယ့္ေၾကာင့္ဆိုေသာ္ Y ၏ တန္ဖိုးတစ္ခုသည္ x ၏တန္ဖိုး တစ္ခုခ်င္းစီေပၚတြင္ ဆက္ႏြယ္ေနေသာၾကာင့္ ၿဖစ္သည္။ equation တစ္ခုသည္ function တစ္ခုၿဖစ္ေသာအခါ ၄င္းကို functional notation ၿဖင့္ ၿပန္ေရးႏုိင္သည္။ Functional notation တြင္ functionကိုေပးထားေသာ နာမည္တစ္ခုပါ၀င္သည္။ မ်ားေသာအားၿဖင့္ စံအေနၿဖင့္ f နွင့္ f နွင့္ အနီးတစ္၀ိုက္ မွ စာလံုးမ်ားကိုသံုးသည္ ။ဥပမာအားၿဖင့္ y=3x-5 အစား f(x)=3x-5 ဟုေရးသည္ ။
ဆက္ရန္#
Image credit google
