Ein bisschen Mathe am Morgen kann nicht schaden :)

Ich hoffe man kann alles lesen. Also zunächst mal die Gleichungen in eine Matrix geschrieben.

Im ersten Schritt ziehst du von der zweiten Zeile die erste ab und von der dritte zwei mal die erste. Das machst du um in der ersten Spalte die Nullen unter der eins zu bekommen.

Dann rechnest du die zweite Zeile mal -1/2 um auch in der zweiten Zeile eine führende Eins zu bekommen.

(Das durchgestrichene einfach ignorieren)

Dann addierst du auf die dritte Zeile die zweite drauf, um die -1 wegzubekommen.

Dann teilst du die dritte Zeile durch -3/2 um die führende Eins zu bekommen.

So, dann wird es etwas unübersichtlich :D. Wir haben jetzt schon die Zeilenstufenform und könnten die Lösung durch Einsetzen ablesen, aber wir bringen die Matrix noch in die reduzierte Zeilenstufenform.
Du ziehst von der ersten Zeile die dritte ab und addierst auf die zweite 1/2 mal die dritte, um über der führenden Eins in der dritten Spalte Nullen zu bekommen. (Von hier ist der nächste Schritt die Matrix links)

Im letzten Schritt ziehen wir von der ersten Zeile die zweite ab, um auch in der zweiten Spalte Nullen über der führenden eins zu produzieren.

Jetzt können wir das Ergebnis einfach ablesen mit x=1, y=2 und z=-1, wie @zuerich ja auch schon gezeigt hatte.

wobei ich noch nicht einmal mehr weiss ob das Gaußsche Eliminationsverfahren überhaupt Gegenstand in der Schule jemals gewesen war

In der Schule bei mir nicht. Dafür im Informatik-Studium zweites Semester.