Una acotación:
Desde el punto de vista algebraico, los números complejos $(\mathbb{C}, +, .)$ es un cuerpo tal que:

• Tiene a los reales como sub-cuerpo
• Tiene un elemento i, tal que i^2=-1
• Es el cuerpo más chico con las dos propiedades anteriores.

Es algebraicamente cerrado (Teorema fundamental del álgebra).
Además son un álgebra conmutativa sobre los reales.

Adicionalmente a su estructura algebraica, el conjunto de los números complejos tiene una estructura topológica bastante rica.

Saludos.