Aproximadamente por la mitad del siglo XX, dos profesores holandeses de matemáticas de Enseñanza Secundaria, Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof, preocupados por el deficiente aprendizaje y resultados de sus alumnos, estudiaron dicho problema y partiendo de la consideración de las matemáticas como actividad y del aprendizaje como proceso de reinvención (Freudenthal, 1.963), presentaron en sus tesis doctorales un modelo de enseñanza y aprendizaje de la Geometría (Van Hiele, 1.957) y un ejemplo concreto de aplicación de ese modelo en unos cursos de Geometría (Van Hiele-Geldof, 1.957).
En el Modelo de Van Hiele se pueden distinguir dos aspectos: - Uno descriptivo, que identifica diferentes formas de razonamiento matemático de los estudiantes y puede valorar el progreso de éstos, los «niveles de razonamiento». - Otro instructivo, que da a los profesores directrices para favorecer el avance de los alumnos a un nivel superior de razonamiento, las «fases de aprendizaje».
Las ideas centrales del Modelo son: •Hay diferentes niveles en el razonamiento de los estudiantes de matemáticas, que son secuenciales y ordenados. •Un estudiante sólo podrá comprender aquellas partes de las matemáticas adecuadas a su nivel de razonamiento. •Una relación matemática que no puede ser expresada en el nivel de razonamiento presente del estudiante, será necesario esperar a enseñársela a cuando alcance un nivel de razonamiento superior. •No se puede enseñar a un estudiante a razonar de una determinada forma, pero mediante una enseñanza adecuada de las matemáticas se puede favorecer que llegue lo antes posible a razonar de esa forma.
La filosofía que inspira el Modelo de Van Hiele se refiere al razonamiento y aprendizaje de las matemáticas en general, pero tanto los estudios iniciales del matrimonio Van Hiele como los significativos que se han hecho después están centrados en la geometría, hasta el punto que se ha convertido en el modelo teórico de referencia más frecuente en las investigaciones y diseños curriculares relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría. Parece que hay consenso al respecto de que es sumamente difícil aplicar el Modelo a áreas de las matemáticas diferentes de la geometría. Pierre Marie Van Hiele ha seguido trabajando en su perfeccionamiento y desarrollo así como otros educadores y psicólogos interesados por el Modelo han realizado investigaciones y experimentaciones que han posibilitado un mejor conocimiento y un uso más eficaz del mismo, a la vez que han contribuido a definir su forma actual. Son evidentes las diferentes formas de expresarse, de trabajar y de aprender en geometría de los estudiantes de las etapas educativas de Primaria, Enseñanza Secundaria y de las Facultades de Matemáticas. Mientras que en los primeros cursos de la escuela sólo son capaces de trabajar de forma visual, refiriéndose a los objetos que tienen ante ellos, y no saben justificar con claridad sus ideas, los adolescentes en el instituto han logrado un notable desarrollo en su capacidad de expresión y, si bien es posible que necesiten objetos físicos para estudiarlas matemáticas, esos objetos representan conceptos o propiedades generales y abstractas, aunque es probable que no sean capaces de realizar demostraciones, capacidad que sí poseen los estudiantes universitarios matemáticos. Por tanto, la existencia de niveles de razonamiento en geometría es clara. En su forma más general, el Modelo de Van Hiele considera la existencia de cinco niveles de razonamiento, pero también se utiliza con frecuencia una restricción de ésta, que ignora el quinto nivel. Presentamos a continuación las características generales de los cinco niveles de razonamiento. Nivel 1. Reconocimiento, visualización •Percepción de las figuras geométricas en su totalidad, de manera global. Se suelen incluir atributos irrelevantes en las descripciones, especialmente referidos a la posición en el plano. •Percepción de las figuras como objetos individuales, no generalizando las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase. •Descripción de las figuras basada principalmente en su aspecto físico y posición en el espacio. Los reconocimientos, distinciones o clasificaciones se basan en semejanzas o diferencias físicas globales. •Frecuentemente las descripciones de las figuras los son por su semejanza con otros objetos que conocen, no necesariamente matemáticos, usando frases como «... se parece a...», «... tiene forma de...», etc. •Uso de propiedades imprecisas para identificar, comparar, ordenar o caracterizar figuras, con habituales referencias a prototipos visuales. •Aprendizaje de un vocabulario básico para hablar de las figuras, escribirlas, etc. •No se suele reconocer explícitamente las partes componentes de las figuras ni sus propiedades matemáticas y cuando se hace el reconocimiento, estos elementos o propiedades no tienen un papel central y, frecuentemente, manifiestan contradicciones. Se trata del nivel de razonamiento típico de Educación Infantil y los primeros cursos de Primaria, pero no es exclusivo suyo; en realidad, cada vez que se presente a los estudiantes algún concepto geométrico nuevo, éstos van a pasar por el nivel 1, si bien algunas veces ese paso será muy rápido. Nivel 2. Análisis •Reconocimiento de que las figuras geométricas están formadas por partes o elementos y están dotadas de propiedades matemáticas. Se describen las partes que integran una figura y se enuncian sus propiedades de manera informal. Se es capaz de analizar las propiedades matemáticas de las figuras. •Deducción de propiedades a partir de la experimentación y capacidad de generalización de dichas propiedades a todas las figuras de la misma clase. •Las definiciones de conceptos consisten en recitar una lista exhaustiva de propiedades, pero en la que puede haber omisiones de características necesarias. Se rechazan las definiciones del profesor o del libro de texto en favor de la del estudiante cuando entran en conflicto con la propia. •No relacionan diferentes propiedades de una misma figura o con las de otras figuras, por lo que no establecen clasificaciones a partir de las relaciones entre las propiedades. No se realizan clasificaciones inclusivas. •La demostración de una propiedad consiste en su comprobación en unos pocos casos. En este nivel aparece un razonamiento que podemos calificar como «matemático», pues es el primero en el que los estudiantes son capaces de descubrir y generalizar (a partir de la observación y la manipulación) propiedades que desconocían. Pero esta capacidad es limitada, pues usan las propiedades de una figura como si fueran independientes entre sí, por ejemplo, no relacionan la existencia de ángulos de 90° en una figura poligonal con la perpendicularidad de los lados o con el paralelismo de los lados opuestos. Nivel 3. Clasificación, deducción informal, abstracción •Se puede relacionar propiedades de una figura entre sí o con las de otras figuras: se comprende la existencia de relaciones y se descubren nuevas relaciones, de manera experimental. •Comprensión de lo que es una definición matemática y sus requisitos. Se definen correctamente conceptos y tipos de figuras. Se hacen referencias explícitas a las definiciones cuando se realizan razonamientos o demostraciones. •Se pueden realizar clasificaciones inclusivas. •La demostración de una propiedad ya no se basa en la comprobación de casos, pues hay necesidad de justificar de manera general la veracidad de dicha propiedad, para lo cual se usan razonamientos deductivos informales. •Comprensión y realización de implicaciones simples en un razonamiento formal. •Comprensión de una demostración realizada por el profesor, capacidad para repetir tal demostración y adaptarla a otra situación análoga. •Incapacidad para llevar a cabo una demostración formal completa, en la que haya que encadenar varias implicaciones, pues no se logra una visión global de las demostraciones y no se comprende su estructura. •Incomprensión de la estructura axiomática de las matemáticas. Entre los avances y las características de los estudiantes de este nivel de razonamiento está el que son capaces de clasificar inclusivamente los cuadriláteros convexos: los cuadrados son rombos y rectángulos,... Nivel 4. Deducción formal •Capacidad para comprender y desarrollar demostraciones formales. Capacidad para adquirir una visión global de las demostraciones y para comprender la misión de cada implicación simple en el proceso. •Realización de demostraciones mediante razonamientos deductivos formales y de varios pasos, asumiendo su necesidad como único medio para verificar la verdad de una afirmación. •Comprensión de la estructura axiomática de las matemáticas: sentido y utilidad de los axiomas, las definiciones, los teoremas, los términos no definidos,... •Aceptación de la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas o mediante diferentes formas de demostración. •Comprensión de la nueva expresión del enunciado de problemas o teoremas con un lenguaje más preciso. Al alcanzar el nivel 4 de razonamiento se logra la plena capacidad de razonamiento lógico matemático. Las investigaciones llevadas a cabo en los niveles educativos no universitarios coinciden en señalar que son pocos los alumnos que logran una adquisición alta del cuarto nivel de razonamiento y lo consiguen al final de la Educación Secundaria. Nivel 5. Rigor •Posibilidad de trabajar en sistemas axiomáticos dela geometría euclídea distintos del usual. •Capacidad para realizar deducciones abstractas basándose en un sistema de axiomas determinado. •Capacidad para establecer la consistencia de un sistema de axiomas. Capacidad para comparar sistemas axiomáticos diferentes y decidir sobre su equivalencia. •Comprensión de la importancia de la precisión al tratar los fundamentos y las relaciones entre estructuras matemáticas. Acabada la exposición de las características generales de los niveles de razonamiento, veamos a continuación las principales propiedades globales del Modelo de Van Hiele cuya consideración y análisis es imprescindible para una adecuada comprensión y utilización de éste. 1. Jerarquización y secuencialidad de los niveles Cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior para alcanzar un nivel de razonamiento es necesario haber adquirido previamente los niveles anteriores (Van Hiele, 1.986, p. 51); jerarquización que han corroborado todas las investigaciones al respecto. Por otra parte, entre las características de los niveles 1, 2 y 3 siempre hay alguna que se refiere a habilidades que todavía no saben usar los estudiantes o que están siendo usadas implícitamente y cuyo uso explícito se aprende en el nivel siguiente, es decir, los niveles de Van Hiele tienen una estructura secuencial. 2. Relación entre el lenguaje y los niveles de razonamiento Para un alumno del segundo nivel de razonamiento, «demostrar» una propiedad consiste en comprobarla en unos pocos casos, para un alumno del tercer nivel consiste en buscar algún tipo de justificación lógica pero intuitiva de la propiedad, mientras que para un alumno del cuarto nivel consiste en aplicar el razonamiento lógico formal para obtener una verificación correcta y aceptable matemáticamente. Con este ejemplo vemos como una palabra tiene significados diferentes en los distintos niveles, es decir, que a cada nivel de razonamiento le corresponde un tipo de lenguaje específico. Esta propiedad del Modelo tiene una importancia trascendental en la actividad de los profesores en sus clases: si un profesor quiere hacerse comprender por sus alumnos debe hablarles en su nivel de lenguaje, de lo contrario provocará la incomprensión mutua, pues el profesor, por su desconocimiento psicodidáctico, tampoco entenderá por qué los alumnos responden de esa manera, o no responden, a las actividades y, probablemente, los evaluará erróneamente. 3. Localidad de los niveles de razonamiento ¿Los niveles de razonamiento son específicos de un concepto, es decir, son locales, o son genéricos para toda la geometría, es decir, globales? Investigadores como Freudenthal (1.973), Mayberry (1.983)y, Gutiérrez y Jaime (1.987)concluyen que la característica local de los niveles de razonamiento es la correcta. 4. El paso de un nivel al siguiente se produce de forma continua Van Hiele (1.986) sugirió que el paso de un estudiante desde un nivel de razonamiento al siguiente se produce de una forma brusca, como un salto pero Burger y Shaughnessy (1.986) y Jaime (1.993) citan algunas de las investigaciones que han mostrado que la interpretación discontinua de los niveles no puede explicar ciertas situaciones frecuentes de alumnos que razonan simultánea o alternativamente en dos niveles consecutivos, por ello actualmente se considera que el paso de un nivel al siguiente se produce de forma continua, gradual, y que durante algún tiempo el estudiante se encontrará en un período de transición en el que combinará razonamientos de un nivel y del otro. 5. La instrucción herramienta para progresar en los niveles de razonamiento Van Hiele afirma que la instrucción es un factor básico para avanzar en los niveles de razonamiento: “la transición de un nivel al siguiente no es un proceso natural; tiene lugar bajo la influencia de un programa de enseñanza-aprendizaje. La transición no es posible sin el aprendizaje de un nuevo lenguaje” (Van Hiele, 1.986, p. 50) y añade Crowley (1.987): ningún método de enseñanza permite al estudiante saltarse un nivel. Finalmente, para completar la descripción del Modelo, vamos a exponer las fases de aprendizaje, es decir, la propuesta de Van Hiele sobre los pasos que debe seguir un profesor en la graduación y organización de las actividades que deben realizar los alumnos para pasar de un nivel de razonamiento al siguiente. Las fases no están asociadas a un nivel determinado, sino que en cada nivel la instrucción comienza con actividades de la primera fase y continúa con actividades de las siguientes fases. A lo largo de estas fases, es necesario conseguir, en primer lugar, que los estudiantes adquieran de manera comprensiva los conocimientos básicos necesarios (nuevos conceptos, propiedades, vocabulario, etc.) con los que tendrán que trabajar, para después centrar su actividad en aprender a utilizarlos y combinarlos. Al finalizar la fase quinta, los alumnos deben haber alcanzado el nivel de razonamiento siguiente. Las características principales de las fases de aprendizaje son las siguientes: Fase 1. Información En esta fase se procede a tomar contacto con el nuevo contenido objeto de estudio. El profesor debe identificar los conocimientos previos que puedan tener sus alumnos sobre este nuevo tema y su nivel de razonamiento en el mismo. Los alumnos deben recibir información para conocer el campo de estudio que van a iniciar, los tipos de problemas que van a resolver, los métodos y materiales que utilizarán, etc. Así mismo, los estudiantes aprenderán a manejar el material y adquirirán una serie de conocimientos básicos imprescindibles para poder empezar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta fase de aprendizaje puede evitar repetir o tratar de «enseñar» cosas que los estudiantes ya saben bien porque tienen un conocimiento extraescolar sobre el tema, bien porque vamos a trabajar en un contenido que no es absolutamente nuevo para los alumnos que ya lo han estudiado en algún curso anterior. La primera fase puede que sea innecesaria en algunos casos, como por ejemplo cuando el profesor imparte docencia a los mismos estudiantes en cursos consecutivos, o cuando dentro del mismo curso, y sin que haya interrupción de las clases dedicadas a un tema de matemáticas, se produzca el paso de los alumnos de un nivel de razonamiento al siguiente (es relativamente fácil que esto ocurra al pasar del nivel 1 al 2 o del nivel 2 al 3). Fase 2. Orientación dirigida En esta fase de aprendizaje los estudiantes empiezan a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en los materiales que se les proporciona. El profesor guía a los alumnos mediante actividades y problemas (dados por él o planteados por los mismos estudiantes) para que éstos descubran, comprendan y aprendan cuales son los conceptos, propiedades, definiciones, figuras, relaciones, etc., principales en el área de la geometría que están estudiando y en los que deben basar su nueva forma de razonamiento. Los problemas propuestos han de llevar, progresiva pero directamente, a los resultados y propiedades que los estudiantes deben entender y aprender. El profesor tiene que seleccionar cuidadosamente estos problemas y actividades y debe orientar a sus alumnos hacia la solución cuando lo necesiten. Refiriéndose a esta fase dice Van Hiele: “las actividades, escogidas cuidadosamente, forman la base adecuada del pensamiento del nivel superior” (Van Hiele, 1.986, p. 97). El papel del profesor es, por tanto, básico en esta fase, ya que debe guiar a sus alumnos para que adquieran correctamente las estructuras básicas del nivel y éstos, por sí mismos, no podrían realizar un aprendizaje eficaz en cuanto a los resultados obtenidos y al tiempo empleado. Fase 3. Explicitación En esta fase los alumnos deben intentar expresar, en un contexto de diálogo con el grupo o por escrito, cómo han resuelto las actividades, sus experiencias los resultados que han obtenido, con el fin de que lleguen a ser plenamente conscientes de las características y relaciones descubiertas y terminen de aprender y afiancen el nuevo vocabulario, todo ello correspondiente al tema objeto de estudio y al propio nivel de razonamiento. No se producen aprendizajes nuevos de estructuras o contenidos, sino una revisión del trabajo llevado a cabo, de puesta a punto de conclusiones y de práctica y perfeccionamiento de la forma de expresarse, lo cual origina un afianzamiento de la nueva red de conocimientos que se está formando. La tercera fase no debe interpretarse como fijada temporalmente después de la segunda fase y antes de la cuarta como parece indicar su Importancia de los números ordinales, sino más bien como una actitud permanente de diálogo y análisis en todas las actividades posibles de las diferentes fases de aprendizaje. Fase 4. Orientación Libre Ahora se debe producir la aplicación, perfeccionamiento y consolidación del aprendizaje de conocimientos y de lenguaje realizado en las fases anteriores. El profesor propondrá a sus alumnos verdaderos problemas, es decir, que no sean actividades de simple aplicación directa de un dato o algoritmo conocido, sino problemas diferentes de los anteriores y, probablemente, más complejos, que planteen nuevas relaciones o propiedades, que sean más abiertos, preferiblemente con varias vías de resolución, con varias soluciones o con ninguna. La intervención del profesor en la resolución de las tareas debe ser mínima, son los alumnos quienes tienen que encontrar el camino adecuado a partir de lo aprendido en la segunda fase, pues dice Van Hiele (1.986, p. 54): “los estudiantes aprenden a encontrar su camino en la red de relaciones por sí mismos, mediante actividades generales”. El tipo de actividades de esta cuarta fase es la que permitirá completar la red de relaciones que se empezó a formar en las fases anteriores, dando lugar a que se establezcan relaciones más complejas y más importantes. Fase 5. Integración Las actividades de esta fase no provocan aprendizaje de elementos nuevos, deben favorecer la adquisición de una visión global de todo lo aprendido sobre el tema y de la red de relaciones que están terminando de formar, integrando estos nuevos conocimientos, métodos de trabajo y formas de razonamiento con los que tenían anteriormente, actividades que también deben permitirle al profesor comprobar si se ha conseguido ya dicha adquisición e integración. El profesor debe fomentar esta integración confeccionando y presentando a los estudiantes resúmenes o recopilaciones de los contenidos estudiados. Los estudiantes deben memorizar los resultados más importantes y adquirir destreza y agilidad en el uso de los nuevos algoritmos, procedimientos de resolución de problemas o métodos de trabajo. Completada esta fase, los alumnos tendrán a su disposición una nueva red de relaciones mentales, más amplia que la anterior y que la sustituye, habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento y estarán preparados para repetir las fases de aprendizaje en el nuevo nivel. Para concluir con las fases de aprendizaje de Van Hiele, creemos importante destacar que una actividad por sí misma no corresponde a un nivel de razonamiento y una fase de aprendizaje concretos, pues generalmente las actividades propuestas se pueden resolver utilizando métodos de trabajo y formas de razonamiento propias de distintos niveles. Por último, dos apuntes sobre la utilización del modelo de Van Hiele. En las propiedades globales del Modelo ya vimos que la secuencia de niveles es inalterable por lo que no se debe pretender que una persona alcance un nivel de razonamiento mientras no haya adquirido suficiente competencia en el nivel anterior. Las fases de aprendizaje deben aplicarse en la enseñanza de la geometría (o de las matemáticas) y en la organización de la docencia con la suficiente flexibilidad y sentido común como para adaptarlas al grupo de alumnos con los que estamos trabajando.
