Sułtan ma doradców.
Sułtan mówi do swoich doradców, że jutro zostaną poddani próbie. Staną w kolumnie jeden za drugim. Każdy z nich otrzyma kapelusz - biały lub czerwony. Nie będą widzieć koloru swojego kapelusza. Będą skierowani w jednym kierunku. Każdy, kto spytany poda zły kolor, straci głowę. Będą pytani od ostatniego do pierwszego (według ustawienia).
Doradcy mogą się naradzić dziś wieczorem, jaką strategię obrać, aby jak najwięcej z nich przeżyło.
Jeśli każdy będzie zgadywał, to każdy ma 50% szansy na przeżycie, więc rachunek prawdopodobieństwa mówi, że gdy liczba doradców będzie dążyć do nieskończoności, to stosunek pozostałych przy życiu doradców do wszystkich doradców będzie dążyć do 1/2.
Rachunek prawdopodobieństwa nic nie mówi, że 50% doradców przeżyje w konkretnej realizacji naszego eskperymentu! Teoretycznie, mogą przeżyć wszyscy lub żaden.
Czy istnieje lepsza strategia? Tak.
Zachęcam do zastanowienia się i dopiero poźniej powrotu do czytania.
Jeśli doradcy dobiorą się w pary i umówią, że ten który stoi z tyłu poda kolor swojego kolegi z pary (który widzi), to sam ma 50% szansy na przeżycie, a jego kolega ma 100% szansy - bo już wie, który ma kolor. Zatem wartość oczekiwana pozostałych przy życiu doradców to 75% (0.75). Oczywiście jeśli liczba doradców jest nieparzysta, to jeden musi zgadnąć sam.
Czy można zrobić lepiej? Można.
Doradcy dobierają się w trójki. Ostatni w trójce mówi "czerwony", jeśli jego dwaj koledzy mają ten sam kolor, a "biały" jeśli mają różne. Drugi w trójce podaje kolor pierwszego, jeśli trzeci powiedział "czerwony". Jeśli trzeci powiedział "biały", to drugi podaje kolor inny niż pierwszego. Pierwszy też to uwzględnia. Zatem dwaj z trzech są ocaleni a i trzeci wciąż ma 50% szansy. Przeżywalność oczekiwana to 5/6 (~83.333333...%). Oczywiście jeśli liczb doradców nie jest podzielna przez 3, to jeden zgaduje lub dwóch się dobiera w parę.
Czy da się lepiej. Da się.
Można zrobić tak, że tylko jeden ryzykuje życiem - ten który stoi ostatni i odpowiada pierwszy.
Ostatni mówi "czerwony", jeśli widzi przed sobą parzystą liczbę czerwonych kapeluszy. Jeśli widzi nieparzystą liczbę czerwonych kapeluszy, odpowiada "biały".
Przedostatni liczy czerwone kapelusze przed sobą. Jeśli jest ich parzyście a ostatni powiedział "czerwony", to znaczy, że sam ma biały. Jeśli ostatni powiedział "czerwony", a przedostatni widzi nieparzyście wiele, to przedostatni ma biały.
Analogicznie jeśli ostatni odpowiedział "biały". Potem trzeci od końca i każdy następny uwzględnia odpowiedzi poprzednich (wiedząc, że każdy od przedostatniego dobrze podał swój kolor) i łańcuszkiem to leci do końca.
Zadanie dodatkowe: Wymyślić najlepszą strategię, gdy kapelusze będą w 3 kolorach.
