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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

오늘은 블랙-숄즈 주가 모형으로 알아보는 주가 변화와 자산의 위험 정도에 대해 살펴보겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

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도체의 열전도 방정식과 유사한 블랙-숄즈 주가 모형 방정식

파생상품의 위험분석과 가격결정에 획기적인 기여를 한 업적은 1973년 피셔 블랙과 마이런 숄즈의 옵션 가격 결정 이론, 즉 블랙-숄즈 주가 모형입니다. 블랙과 숄즈는 바슐리에와 같이 주식가격이 브라운 운동을 한다는 모형을 설정하고, 위험 없이 수익을 이자율 이상 올릴 수 없다는 가정 아래 옵션의 가격이 만족하는 방정식을 유도했는데요. 짜잔, 놀랍게도 이 방정식은 도체에서의 열전달을 기술하는 물리학의 열전도 방정식과 형태와 매우 유사했습니다. 금융 속에서 다시 한번 물리학의 법칙이 발견된 것이죠. 심지어 이 방정식의 해는 블랙과 숄즈가 주가 모형 방정식을 유도하기 한참 전에 (1백여 년 전) 물리학자들이 이미 풀어놓았는데요. 그러나 블랙과 숄즈는 자신들의 주가 모형 방정식을 도출해내고 그 형태가 열전도 방정식인지 깨닫지 못했기 때문에 한동안 방정식의 해를 구하려고 애를 썼다고 합니다. 결국 이 방정식을 푼 결과는 현재 옵션 가격 분석의 세계적인 표준이 되었습니다. 금융 분야에서 블랙과 숄즈의 블랙-숄즈 주가 모형은 물리학에서 뉴턴이나 아인슈타인의 업적에 견줄 수 있을 정도로 혁명적이라고 하는데요. 이후의 금 융산업 전체를 확 바꿔놓는 기술상의 변화를 가져왔을 정도라고 합니다. 1997년 블랙-숄즈 주가 모형을 고안한 마이런 숄즈와 이를 좀 더 통찰력 있는 방식으로 표현한 로버트 머튼 세 사람은 그 공로를 인정받아 노벨 경제학상을 공동 수상했지만 아쉽게도 피셔 블랙은 1995년에 사망했기 때문에 수상의 영광을 누리지 못했습니다.

평균 수익률의 분산과 표준편차로 추정하는 자산의 위험 정도

시간에 따른 주가 변화를 추정하는 편미분방정식인 블랙-숄즈 주가 모형 방정식의 복잡한 수식에 담긴 의미를 하나씩 전달하면 거부감이 드실 것 같습니다. 대신 풀어서 쉽게 설명해드리자면 다음과 같습니다. 금융에서 특정 자산의 위험은 그 자산의 단순 수익률의 분산이나 표준편차로 정의합니다. 위험은 미래의 불확실성을 의미하므로 미래에 특정 자산의 단순 수익률의 분산이나 표준편차가 클수록 미래 실현 가능한 수익률 값들이 평균에서 더 멀리 흩어져 분포하고 있어 불확실성이 더 커지기 때문인데요. 반대로 해당 자산의 이 값들이 작을수록 평균 주변에 몰려 있어 실제 실현될 가능성이 커지므로 불확실성이 줄어드는 것이죠. 블랙-숄즈 주가 모형은 바로 주식의 연간 평균 수익률의 분산이나 표준편차를 통해 위험 정도, 즉 주가 변화의 그 불확실성을 추정하는 방정식입니다.

블랙-숄즈 주가 모형 방정식이 금융계에 미친 영향

블랙-숄즈 주가 모형은 파생 상품의 정상 가격이 어떻게 결정될 수 있는지를 수학적으로 보여주었습니다. 경험과 직관에만 의존하던 판단 기준을 보다 객관적이고 과학적으로 만들어준 것이죠. 블랙-숄즈 주가 모형을 이용하면 파생 상품의 구매자들은 정상 가격을 산출할 수 있게 되었고 매매에 대한 불안감을 지울 수 있었고 이를 통해 1973년에 설립된 세계최초의 옵션거래소인 시카고 옵션 거래소는 단기간 내에 큰 성공을 거둘 수 있었죠. 뿐만 아니라 블랙-숄즈 주가 모형은 파생 상품의 발행자에게 따르는 위험을 분석해 이에 대한 보호책을 제시했습니다. 실제로 블랙-숄즈 주가 모형이 등장하기 이전까지 파생상품 발행자는 기초 금융 자산의 가격 변동으로 엄청난 위험을 부담하게 되어 많은 금융 회사들이 파생 상품의 판매를 꺼리는 상황이었죠.

위험이 전혀 없는 투자 포트폴리오?

블랙은 블랙-숄즈 주가 모형을 이용하면 소프의 델타헤징과 비슷하게 위험이 전혀 없도록 투자 포트폴리오를 구성하는 동태적 헤징이 가능하다고 주장했습니다. 이후 1973년 시카고옵션거래소 등이 개설되어 옵션거래가 활발해졌는데요. 당시 블랙을 포함한 많은 물리학자들이 월 스트리트에 진출하여 옵션을 포함한 다양한 파생상품을 개발하기 시작했습니다. 그러나 1987년 10월 19일 검은 월요일의 주가 대폭락을 맞이하여 무작위 행보 모형이나 블랙-숄즈 주가모형에 대한 의심이 확산된 적도 있습니다. 하루에 다우존스지수가 23%나 하락한 것은 무작위 행보 모형으로 절대 설명할 수 없었지요. 그러나 오코너 앤 어소시에이츠 사는 블랙-숄즈 주가 모형의 가정이 완벽하지 않음을 간파하고 블랙-숄즈 주가 모형을 수정하여 활용하였고 1987년 주가 대폭락에서 살아남았습니다. 블랙도 블랙-숄즈 주가 모형 방정식을 유도하는 과정에서 오류가 있을 수 있음을 인식하고 있었다고 하네요. 이는 금융 모형은 그 자체로 완벽하지 않으며 결함을 찾아서 개선하는 과정이 반복되어야 함을 보여주는 대표적인 사례입니다.

금융계에 진출하는 물리학자, 수학자, 공학자

블랙-숄즈 주가 모형이 수학적으로 정상적인 시장에서 파생 상품을 발행할 경우 위험을 상당 부분 줄일 수 있는 것은 판명되었습니다. 이러한 기술적 혁신에 따라 금융 회사들은 여러 종류의 파생 상품을 발행하게 되는데요. 특히 블랙-숄즈 주가 모형과 같은 기법은 물리학과 공학에서 쓰이던 고등 수학을 이용한 것이므로 월가를 비롯한 미국 금융계인 다수의 물리학자, 수학자, 공학자들을 고용해 새로운 금융 기법 개발에 박차를 가했습니다. 예를 들어, 살러먼 브러더즈라는 금융 회사는 미국 명문대인 브라운 대학의 물리학 교수를 채용했고, 골드만 삭스는 블랙-숄즈 주가 모형을 고안한 블랙을 유한 책임 사원으로 영입해 연구를 지휘하게 했다고 하네요. 이처럼 고등 수학을 이용해 새로운 금융 기법을 개발하는 사람들을 월가에서는 미항공우주국 (NASA) 출신의 물리학자 상당수가 월가로 진출했다는 이유로 ‘로켓 과학자’라고 부른다고 합니다.

다음 편을 기대해주세요!

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• 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
• 본문을 작성하는데 있어 주식투자는 두뇌게임이다, 돈의 물리학, 금융의 물리학, 선물과 옵션의 수리적 이해, 위키피디아 내용을 참조하였습니다.

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