[수학으로 바람 이해하기 part3] 유체를 지배하는 방정식을 알아보자

안녕하세요. @hkkim1030입니다.

[오기 전에 알아두자] 태풍 '노루' 경로 분석하기에서,
@hunhani님으로부터 태풍 경로에 영향을 미치는 인자인
'제트류', '해수면 온도 경도', '몬순 기압골'에 대한 포스팅을 요청 받았습니다.

이것을 설명하기위해,
[아는 것이 힘이다-지구과학#4] 수학으로 바람 이해하기 part1

[아는 것이 힘이다-지구과학#5] 수학으로 바람 이해하기 part2
를 통해 몇 가지 기본적인 지식을 쌓아 보았습니다.

이번 포스팅에서는 위에서 배운 기초지식을 활용하여,
'바람'을 이해하기 위한 '방정식'을 설명해 보고자 합니다.

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대기는 기본적으로 유체입니다.
따라서, 유체에 적용되는 방정식을 사용하여 대기 현상을 표현합니다.

유체에 적용되는 방정식은
크게 3가지 입니다.

하나. 연속 방정식 (continuity equation)
둘. 운동량 방정식 (momentum equation)
셋. 열역학 방정식 (thermodynamic equation)

이번 포스팅에서는
연속 방정식에 대한 설명을 해보겠습니다.

연속 방정식의 의미는
'질량 보존'입니다.

간단하게 들어온만큼 나간다 (눈에는 눈 이에는 이, 이정도 의미일까요?)입니다.

간단한 예를 들기위에서,
catesian coordinate로 질량 유입을 고려해보면,
아래 그림처럼 표현할 수 있습니다.

(IMAGE from http://pleasemakeanote.blogspot.kr/2009/02/derivation-of-continuity-equation-in.html)

여기에서 u는 x축 방향의 바람이고, 는 밀도,
는 변화량입니다.

x축 방향으로 유입되는 순수한 질량 (net mass)은 나간 것 - 들어온 것 이므로
입니다.

이를 y, z축으로 확장시키면,
,
로 표현할 수 있습니다.

이를 종합하면,

고정된 상태에 위치한 점 (Eulerian frame)에서 밀도 변화는
이며,
unit volume로 환산하면,
가 됩니다.

전시간에 배운 del operator를 적용하면,
를 얻을 수 있고,
풀어내면
입니다.

완전 미분 (total differentiation)을 적용하면,
인데,
비압축성기체 (imcompressible fluid)를 가정하면 가 0이 되므로,

연속 방정식의 최종 형태는
이 됩니다.

정말 간단해 졌습니다!! ㅎㅎ

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오늘 포스팅은 이것으로 마치겠습니다.

다음 포스팅에서는 운동량 방정식에 대해 서술해 보고자 합니다.

어려운 내용이 있다면, 언제든지 질문해주세요!!

그럼 20000.