(슬슬 수학이 나오고 심화되기 시작하는것 같습니다)
일반적으로 우리는 부모의 키가 크면 그 자식또한 키가 클 것이라고 예상합니다. 그런데 실제로 부모의 키는 자식들의 키에 영향을 줄까요? 이를 알아보기 위해 데이터를 이용할수 있습니다.
여기 무려 1078쌍의 아버지와 아들의 키 데이터가 있습니다.
이를 숫자로 보면 힘드니 그림으로 표현해볼까요??
앞서 저희는 변수가 2개일 경우, 데이터들을 2차원의 공간에 표현할수 있다는 것을 배웠습니다.
이렇게 말입니다!
이렇게 두 연속형 변수를 2차원 공간에 표현한 그림을 산점도라고 합니다.
그리고 산점도는 이렇게 4사분면으로 나눌수 있습니다!
이렇게 산점도를 4등분한 그림에서, 오른쪽 위가 1사분면, 그 옆이 2사분면, 왼쪽 아래가 3사분면, 오른쪽 아래가 4사분면 이라고 불립니다.
멀쩡한 산점도를 왜 4등분 시켰냐고요? 바로 데이터들의 경향성을 알아보기 위해서 입니다!!
1사분면은 아버지와 아들의 키가 모두 큰 구간이고요, 3사분면은 아버지와 앋르의 키가 모두 작은 구간입니다. 즉 이 두 구간에 데이터가 많다면, 아버지와 아들의 키는 유전된다고 표현할 수 있습니다. 2,4사분면은 그 반대로 해석할수 있고요.
우리의 산점도에는 1,3사분면에 더 많은 점이 보입니다. 즉 아버지와 아들의 키가 비례관계에 있다고 할 수 있겠네요!!
음 그렇지만 단순하게 '비례관계이다'라고 표현하는건 너무 막연합니다. 이걸 숫자로 표현하고 싶네요.
그렇다면 이걸 명확하게 숫자로 표현하는 방법을 하나하나 따라가 보겠습니다.
자, 우리에게는 무려 1078개의 데이터가 있습니다.
이중 딱 4개만 골라보겠습니다.
- 아버지160 아들160 2. 아버지170 아들180 3. 아버지180 아들170 4. 아버지190 아들190
이를 산점도에서 표시하면 이렇게 되겠네요.
(점선은 아버지, 아들키의 평균 입니다)
네 값들이 각 사분면에 하나씩 들어 있습니다. 그렇다면 "1,3사분면에 절반, 2,4사분면에 절반 있으므로 아버지와 아들의 키 사이에는 아무 관계가 없다." 라고 말할수 있을까요? 아니요 뭔가 이상해 보입니다.
즉, 단순히 사분면에 들어간 자료의 개수만으로 관계를 확정짓는것은 옳지못합니다.
다시한번 위 그림을 보겠습니다.
여기서 각각의 데이터만의 다른 특성이 뭐가 있을까요?
네 그렇습니다. 네개의 데이터는 각 사분면에 1개씩 존재하지만, 각 데이터는 평균으로부터의 거리가 모두 다릅니다.
여기서 각 데이터의 거리는 데이터의 영향력입니다. 영향력이 무슨 말이냐구요? 0, 1, 2, 4, 10 이라는 다섯 숫자의 평균은 5 입니다. 여기서 평균인 5에서 가장 멀리 떨어진 [0]과 [10]의 평균에 대한 영향력은 [2]나 [4]보다 높을 것입니다. 즉, 각각의 데이터들의 영향력이 합쳐져서 나온것이 바로 평균 입니다.
이렇게 보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 평균에서 먼 데이터일 경우, 데이터의 영향력(사각형)이 더욱 크겠죠? 이때문에 1,3사분면과 2,4사분면에 존재하는 데이터의 갯수는 같지만, 이 경우에도 아버지와 아들의 키는 비례한다.고 말할 수 있습니다. 1,3사분면 데이터의 영향력이 더 크니까요.
그렇다면 아까 처음 산점도에서, 각 데이터들의 영향력을 측정, 비교하면 정확한 수치로 비례를 나타낼수 있겠군요! 우리에겐 무려 1078개의 영향력 데이터가 있는데요, 이를 한 숫자로 표현하는 방법은 뭘까요? 당연히 '평균'입니다.
사각형(거리의제곱)들의 평균을 구하면 쉽게 나오겠네요.
그런데 기억하시나요? 우리는 이미 "(평균의 거리)의 제곱"을 사용한적이 있습니다.
바로 분산입니다. 즉, 분산은 제곱과 그 평균을 통해 한 변수를 살펴보았다면, 지금 저희가 하고있는 과정은 제곱과 평균을 통해 두가지 변수의 관계를 살펴보는 과정입니다.
그렇기 때문에, 이는 공(共)분산이라고 불립니다.
자 앞선 1078개 데이터들의 공분산을 구해보겠습니다!
이러한 결과가 나오네요. 혹시 여기서 문제점을 눈치채셨나요? 네 분산과 같은 문제점이 나타납니다. 바로 '단위'의 문제입니다. 우리는 분명 cm를 가지고 계산했는데, 제곱cm의 결과가 나와버렸죠.
문제가 같다면 푸는 방법도 같겠죠? 분산의 문제를 표준편차로 해결했듯이, 공분산의 문제도 미리 표준화를 해줌으로써 해결할 수 있습니다.
이처럼 표준화된 두 변수의 공분산을 상관계수라고 합니다.
상관계수의 수식은 이렇게 되겠네요.
수식에서 볼수 있듯이 상관계수는 -1~1 사이의 값을 가집니다.
값이 1에 가깝다면 두 변수가 비례, -1에 가깝다면 반비례, 0에 가깝다면 관계없음을 나타냅니다.
이처럼 상관계수를 이용하면 수많은 변수들간의 관계를 깔끔하게 숫자 하나로 표현할 수 있습니다.
그렇다면 다음번엔 키와같은 연속형 변수가 아닌, 범주형 변수의 관계에 대해서 알아보겠습니다.