Hablemos sobre el Gradiente de Potencial

Con la publicación del día de hoy hemos llegado con el final de esta serie, y es que en esta ocasión hablaremos sobre el gradiente de potencial y con ello concluimos el tema relacionado con el Potencial eléctrico.

Ahora bien, creo que ya tenemos claro que existe una relación estrecha entre el campo eléctrico y el potencial, un ejemplo de ello lo tenemos en la siguiente expresión la cual nos refleja un aspecto de esa relación.

Esto nos quiere decir que si se conoce E en diversos puntos, esa ecuación permite calcular diferencias de potencial. En esta ocasión hablaremos como podemos darle la vuelta a dicha afirmación, si se conoce el potencial V en diversos puntos, se puede determinar E con base en él. Si consideramos V como una función de las coordenadas (x, y, z) de un punto en el espacio, entonces es posible demostrar que las componentes de E se encuentran directamente relacionadas con las derivadas parciales de V con respecto a x, y, z.

En la ecuación anterior vemos que Va – Vb el potencial de a con respecto a b, es decir, el cambio de potencial cuando un punto se traslada de b a a. Y esto se puede escribir como:

Donde dV es el cambio infinitesimal de potencial que acompaña a un elemento infinitesimal dl de la trayectoria de b a a, si comparamos las ecuaciones tenemos que:

Estas dos integrales deben ser iguales con cualquier par de limites a y b, y para que esto se cumpla los integrados deben ser iguales. Estos términos, para cualquier desplazamiento infinitesimal dl.

A fin de interpretar esta expresión escribimos E y dl en términos de sus componentes:

Por lo tanto se tiene que

Si suponemos que el desplazamiento es paralelo al eje de las x, de modo dy = dz = 0. Entonces -dV = Exdx o Ex = - (dV/dx). y e z son constantes, lo que nos recuerda que sólo x varia en la derivada, sabiendo que V es en general una función de x, y y z. Pero esto es precisamente el significado de la derivada parcial ∂V/∂x. Las componentes y y z de E guardan la misma relación con las derivadas correspondientes de V; por lo que:

Esto es congruente con las unidades del campo eléctrico (V/m). Se puede escribir E en términos de vectores unitarios como sigue:

En notación vectorial, la operación siguiente se conoce como gradiente de la función f.

El operador que se denota mediante el símbolo ∇ se llama “grad” o “del”. Asì que, en notación vectorial.

Esto se lee “E es el negativo del gradiente de V” o “E es igual al grad V negativo" y a la cantidad ∇V se le denomina gradiente de potencial.

Es importante acotar que, en cada punto el gradiente de potencial apunta en la dirección en la que V aumenta con más rapidez con un cambio de posición. Por consiguiente, en cada punto la dirección de E es la dirección en la que V disminuye más rápidamente y siempre es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por el punto. Esto concuerda con nuestra observación de que desplazarse en la dirección del campo eléctrico significa desplazarse en la dirección de potencial decreciente.

Cabe resaltar que la notación vectorial del gradiente no depende del punto cero de V que se haya elegido. Si se cambiara el punto cero, el efecto seria modificar V en la misma cantidad en todos los puntos; las derivadas de V serian las mismas.

Si E es radial con respecto a un punto o un eje y r es la distancia al punto o eje, la relación que corresponde es:

Suele ser posible calcular el campo eléctrico creado por una distribución de carga una de dos formas: directamente sumando los campos E de cargas puntuales, o calculando primero el potencial y tomando en segunda su gradiente para hallar el campo. El segundo método suele ser más fácil porque el potencial es una cantidad escalar y requiere, en el peor de los casos, la integración de una función escalar. El campo eléctrico es una cantidad vectorial, que requiere el cálculo de componentes con respecto a cada elemento de carga y una integración individual por cada componente. Así pues, y haciendo a un lado su trascendencia fundamental, el potencial ofrece una técnica de cómputo muy útil en los cálculos de campos.

Figuera, J. (2009). Física, Texto y problemario. Caracas: Ediciones CO-BO.

Sánchez, E. (2005). Física. Caracas: Ediciones CO-BO.

Zemansky, S. (2009). Física Universitaria Volumen II. México: Pearson Educación.