Es muy importante el abordaje de la parábola como cuerpo geométrico, ya que en su estudio desde esta perspectiva se estudian elementos completamente distintos que cuando se analiza a la parábola como una la gráfica de una función en el plano cartesiano. Un ejemplo claro a lo que hago referencia es:

[1] Por ejemplo con un abordaje de este tipo podemos analizar ciertos elementos constituyentes de la parábola como lo son: el vértice, el foco, la directriz, entre otros más.

[2] En cambio cuando estudiamos a la parábola desde un punto de vista de función, esta toma rangos y características distintas, entre las que podemos decir por ejemplo que geométricamente una parábola siempre será una parábola sin importar otra condición más que su forma, sin embargo desde el punto de vista del concepto de una función, no siempre una parábola es una función.

[3] Desde el punto de vista de las funciones, el estudio de la parábola se centra más por ejemplo en ver si la parábola es par o impar, si es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, sabiendo que el dominio de todas las funciones parabólicas son los números reales, cabe destacar entonces que es el rango el que puede variar desde su vértice hasta el más infinitivo positivo o negativo.

[4] Como podemos ver bien explicado en este artículo , las coordenadas del vértice la podemos calcular analitica y algebraicamente, mientras que el vértice de una parábola visto como una función se puede calcular con el criterio de la primera derivada.

En lo particular pienso que este post resalta una valiosa importancia del estudio geométrico de la parábola, y de esta forma establecer comparaciones y diferencias con las parábolas vista como funciones reales. Saludos @newton666 y gracias por enseñarnos acerca de las generalidades de la parábola