흔히 중고교 교과서 및 대중 과학서 등등을 보개 되면 자기단극자는 존재하지 않는다란 말을 하곤 한다. [사실 이 말은 매우 위험한 말이다 ㅋㅋㅋ 전세계에 걸쳐 이걸로 밥 먹고 사는 사람들이 아직도 많다]

맥스웰 방정식 - 자기홀극은 존재하지 않는건가?

Maxwell 방정식 자체만 보면 자기홀극이 없는 것 처럼 보인다.

이 4개의 방정식의 우변은 각 상황의 source 를 의미한다.

1번 식은 전하가 전기장을 만든다.

2번 식은 자기 홀극은 존재하지 않는다.

3번 식은 자기장의 변화가 전기장을

4번 식은 전기장의 변화가 자기장을 준다

사실 1-2번은 가우스가 3번은 패러대이가 4번은 앙페르의 방정식이라고 부른다.

그런데 왜 우리는 이 4식을[사실 식 두개로도 가능하다, F 에 대한 source 방정식 하나와 Bianchi identity]

[주로 전형적인 교과서 연습문제로 등장하는 계산이다]

사실 이 두개도 마음에 안 들어서 differential calculus 를 이용하여 1개의 식으로도 표현하기도 한다.

이런 경우 dF=d^2A=0 은 자연스럽게 나오기 때문에 ㅋㅋㅋ

뭐 수식이야기는 넘어가고 맥스웰이 한 일에 대해서 생각해보자.

맥스웰은 전자기의 대칭성을 생각하고 4번 식[앙페르 법칙]의 마지막 항을 추가했다. [물론 3번의 경우 패러대이의 실험 논문을 수식화 했다.]

vacuum 에서 E 와 B 를 바꾸어도 [엄밀하게는

] 맥스웰 방정식은 변하지 않는다. 이런 것들을 가지고 "대칭성을 가지고 있다" 라고 한다.

맥스웰은 이 4번째 식으로 부터 전자기파 방정식을 기술하는데 성공하였고, 이것으로 전자기파가 다름 아닌 빛이다 라는 것을 주장했다.

이러한 대칭성에 감명을 받은 아인슈타인은 맥스웰 방정식으로부터 특수 상대성이론을, 특수 상대성 이론에서 일반 상대성 이론을 만들어 냈다.

대칭성으로부터, 양자역학, GUT, 그리고 끈이론

양자역학의 성공 이후 사람들은 이 맥스웰 방정식의 대칭성을 다시 보기 시작했다. source 가 있는 경우에도 maxwell 방정식의 대칭성을 살릴 수 없을까? 하지만 이는 실험 결과 및 고전 역학과는 맞지 않는데..

이때 디락이 등장한다. Dirac String 이란 것을 도입하여 Magnetic monopole 의 존재와 더 나아가 Dirac의 그 유명한 quantization rule 를 찾아냈다. [Dirac String 은 observable 이 아니기 위해 조건을 impose 함]

the product of a magnetic charge and an electric charge must always be an integer multiple of

굳이 수식으로 쓴다면

[디락이 이를 어떻게 구했느냐 한번 유도과정을 따라가보자

로 두고 여기에 대응되는 A 값을 구했다.

그 해 중 하나가 이

이는 -z 방향으로 긴 솔레노이드가 있는 경우를 생각하면 된다. [사실 이 식 자체로 -z 방향에 singularity 가 있다는 것을 알기는 어렵다. 이 경우에 구면좌표계에서 cartesian coordinate 로 바꾸어 보고 각각의 A 를 구해보면

이러면 r=-z 의 singularity 가 쉽게 보인다.

그림참조

여기서 빨간 점은 magnetic charge 를 이야기 하고 저 솔레노이드가 감은 중심이 singularity 를 나타내며 중간에 있는 화살표는 전자가 있으면 저렇게 돌 것이라는 것을 의미한다. [사실 singularity 를 없앨 수 있다. 이것이 소위 말하는 Wu-Yang Monopole로 이 경우에는 singularity 가 없다. 이는 수학적으로는 sphere(S^2) 를 한 patch 로 모두 덮을 수 없다는 것에서 유래된다. Sphere 를 모두 덮기 위해서는 최소한 2장의 patch 가 필요하다.

U(upper hemisphere) 의 경우 r=-z 에서 L(Lower hemisphere) 의 경우 r=z 에서 singular 하다. 이 쵸이스로 Dirac string 의 singularity 를 없앨 수 있다. 이를 Wu-Yang Monopole solution 이라고 한다. ]

자 이제 양자역학적 효과를 고려해보자. Aharnov Bohm effect 를 계산해보면 Dirac 의 quantization 식이 자연스럽게 등장한다. [Dirac string 은 Observable하지 않기 때문에 전자가 한바퀴 돌았을 때 phase 의 변화가 없어야 한다. ]

[Wu-yang 의 경우에도 같은 결과를 얻는다!]

구한 식에서 정수인 n 에 대해서 eg=n/2 관계를 얻고 이것이 바로 Dirac 의 quanitzation 이다!

[여담으로 중력에서도 이와 비슷한 object 가 있다. 그것은 바로 Misner String 라고 불리는 object 로 중력에서의 Dirac string 과 정확히 같은 역활을 한다!]

이 식[quantization]에 대한 평가를 한번 보자. 많은 리뷰가 있지만 프레스킬의 리뷰 일부분을 보면 [여담으로 프레스킬은 한참 양자장론을 연구하던 연구가였는데 양자정보 이론으로 분야를 옮겼고 여기서도 대단한 성공을 이루었다.]

그의 웹사이트에서 따온 사진

one would be surprised if Nature had made no use of it

실제로 자연현상에서 전하는 기본전하량의 정수배만큼 존재한다.

또 이 자기홀극은 대통일 이론에서도 등장했다. 이번엔 GUT 이론의 SSB 과정에서 등장했다. [이런 약자와 이론들은 나중에 기회가 되면 설명하도록 하자], [대칭성과 표준모형에 대한 내용은
[잡담, 과학] 수지에 대해서 // Feat SUSY [잡담, 과학, 책] 표준모형(?) 물리 이야기// 표준모형의 이해 - 오선근// YTN 사이언스 영상 소개 // 블로그 소개 글들을 참조!]

여기서 등장한 자기홀극은 't Hooft–Polyakov monopole라고 불리며 표준우주론[빅뱅]의 문제점을 제시했다. [관련 포스팅 [과학] 우주의 시작과 인플레이션 이론 // Beginning of the Universe]

뭐 물론 끈이론에서도 magnetic monopole 이 등장한다. 아주 유명한 논문 하나를 소개한다.

사실 QCD, confinement 를 설명할 때 monopole condensation 로 설명하는 경우가 종종 있다. [아직 confinement, Yang Mill mass gap 문제는 아직까지 풀리지 않은, 백만달러 짜리 수학 문제이다!]

존재한다는데 그럼 언제 관측/발견 하는 건가?

일단 위키피디아의 내용을 소개(?)/캡쳐 한다.

일단 1번 - LHC 의 경우 Higgs 의 precision 하기에 바쁘다. 더 큰 가속기를 만들어도 가능할까? 2번 혹은 3번 가능성은 있지만 희박하다. 위키에 나오는 초전도체를 이용한 검출법 역시 희박하다. 사실 이런 시도들은 80년대 많이 이루어져 왔고 실패 혹은 해프닝으로 끝났다.

발견되지 못했는데 그럼 뭐 해먹느냐?

사실 이런 자기홀극은 수학적으로 매우 흥미로운 대상이다. monopole_(mathematics)

아티야와 도날드슨 히친 모두 유명한 수학자이다. 이러한 magnetic monopole 은 수학적으로 재미있는 성질들을 많이 가지고 있다. [관련 수학 포스팅을 기대하시라 - 솔리톤은 위상수학과도 아주 밀접한 관련이 있다. ]

물리학적으로 이 자기홀극과 비슷한 개념 혹은 연구들이 계속되고 있다. 솔리톤과 관련된 연구[ Skyrmion, Meron(Pure gauge 와 관련됨)] 등등, 혹은 왜 Low effective energy [우리가 지금 사는 세계]에서 magnetic monopole 이 발견되지 않을까? 대칭성의 붕괴 과정 중에 우리가 모르는 메커니즘이 있는 것이 아닐까 등을 연구하기도 한다.