OPERACIONES CON POLINOMIOS/ADICIÓN Y SUS PROPIEDADES.

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Comencemos con la adición de polinomios, la cual es una operación que cumple con las propiedades de: conmutatividad, asociatividad, existencia del elemento neutro y del opuesto o simétrico.

La adición de polinomios se define así:

Dados los polinomios:

Entonces:

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Donde el polinomio suma tendrá el grado del polinomio sumando que tenga mayor grado o el mismo grado de los sumandos si estos tienen el mismo grado.

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Primer ejemplo:

Dados los polinomios:

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Hallar P(x)+ Q(x)

Observe que ambos polinomios tienen el mismo grado 3, entonces el grado de P(x)+ Q(x) también es 3.

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Veamos:

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Segundo ejemplo:

Dados los polinomios:

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Observe que el polinomio P(x) tiene grado 3 y Q(x) también es 2, entonces el grado de P(x)+ Q(x) es 3.

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Veamos:

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En cuanto a las propiedades de la adición de polinomios, podemos afirmar que:

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Es muy sencillo probar que P(x)+ Q(x)= Q(x)+ P(x), ya que la adición de polinomios es conmutativa. El lector podrá validar estos resultados con cualquier ejemplo.

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Verifiquemos la propiedad asociativa.

Consideremos los siguientes tres polinomios:

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Queremos verificar que [P(x)+Q(x)]+R(x)= P(x)+[Q(x)+R(x)]= [P(x)+R(x)]+Q(x)

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Comencemos con:

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Primero resolvemos las operaciones que se encuentran agrupadas dentro del corchete; en este caso, eliminamos los paréntesis y reducimos los términos semejantes, es decir sumaremos los monomios de igual grado:

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Eliminamos los signos de agrupación; es decir, corchetes y paréntesis:

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Siguiendo este mismo modelo, el lector podrá verificar que:

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Elemento neutro

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Existe un polinomio que llamaremos O(x) tal que para cualquier polinomio P(x)+O(x)=O(x)+P(x)

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Tal polinomio es el POLINOMIO NULO

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El Polinomio Nulo es un polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a 0; es decir, O(x)=0

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Existencia del OPUESTO O SIMETRICO.

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Para todo polinomio P(x) existe un polinomio –P(x) tal que: P(x)+[-P(x)]=-P(x)+P(x)=O(x)

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Ilustremos con un ejemplo:

Consideremos el siguiente polinomio:

Entonces

De tal forma verificamos que:

Hasta aquí la adición de polinomios y sus propiedades, esperamos que haya dentro de la comunidad alguien a quien le sea de utilidad este post.

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Créditos:

El contenido es totalmente original de la autora.