Diagramas cartesianos de desplazamiento: uso del diagrama auxiliar

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•Diagramas cartesianos de desplazamiento en sistemas materiales de 1 grado de libertad

En el cual se abordaron los diagramas cartesianos de desplazamiento para sistemas materiales de un (1) grado de libertad (1 GL) compuestos por varias chapas vinculadas entre sí. En este caso abordaremos un caso particular en el que dos chapas del sistema están vinculadas mediante bielas paralelas y al mismo tiempo sufren traslación pura. Esto requiere de un procedimiento adicional al diagrama cartesiano de desplazamiento para poder determinar los desplazamientos de todos los puntos del sistema. Este procedimiento es conocido como el “diagrama auxiliar”, denominado así por el Prof. Eyisto Hernández, quien fue Profesor de Estática Aplicada en la Universidad Central de Venezuela.

Puede parecer extraño que en una asignatura llamada “Estática Aplicada” se busque determinar tan detalladamente el desplazamiento de mecanismos cinemáticos de 1 grado de libertad. Pero esto forma parte del cálculo de reacciones en sistemas isostáticos (GL=0) mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos, ya que de esta manera se pueden calcular con exactitud los desplazamientos virtuales del sistema y existen casos particulares en los que el diagrama auxiliar puede necesitarse.

Todo el contenido sobre Estática Aplicada se ha recopilado en la siguiente publicación:

•Material de Estática Aplicada

Introducción

Cuando dos chapas se vinculan mediante bielas paralelas y sufren además de traslación pura, se conforma un caso particular del Primer Teorema de los Polos en cadenas cinemáticas de 1 grado de libertad (1 GL). Esto se abordó en el artículo ESTÁTICA APLICADA: bielas paralelas en sistemas materiales de 1 grado de libertad Parte III, en donde para lograr determinar el desplazamiento del sistema fue necesario recurrir a un procedimiento adicional para determinar los desplazamientos del sistema mediante un análisis de la rotación de las bielas. Este análisis puede resultar complicado en algunos casos debido a la geometría del sistema, por ello el diagrama auxiliar es de gran ayuda para determinar los desplazamientos del sistema en casos como este.

Como consecuencia, no solo debemos realizar el diagrama cartesiano del sistema, sino que se hace necesario trazar un diagrama adicional para el momento en que nos encontremos con dos chapas que sufren traslación pura y están vinculadas mediante bielas paralelas. Esto es debido a que en este caso particular de cadena cinemática de 1 GL no hay forma una forma directa de conocer el desplazamiento y el sentido de una de las dos chapas.

Sistema material de 1 GL propuesto

El siguiente sistema material (Fig. N°1) con sus polos ya hallados, representa una cadena cinemática de 1 GL. En este artículo se muestra contenido más detallado sobre el Primer Teorema de los Polos y su aplicación.

_{Figura N°1}

Podemos notar que el polo absoluto de las chapas II y III se encuentra en el infinito, por lo que ambas sufren de traslación pura. Estas chapas de vinculan mediante bielas paralelas, por lo que el polo relativo entre ambas también se encuentra en el infinito. En consecuencia, al momento de trazar los diagramas cartesianos de desplazamiento, debemos detenernos al llegar a la chapa II, ya que no es posible conocer directamente la magnitud del desplazamiento de la chapa III y quizás tampoco su sentido. Se debe primero realizar un diagrama auxiliar para determinar el movimiento de la chapa III. Podemos establecer entonces que cuando se da la siguiente configuración de polos entre dos chapas vinculadas entre sí:

El trazado del diagrama auxiliar se hace necesario.

Trazado de los diagramas cartesianos y del diagrama auxiliar

El trazado de los diagramas cartesianos puede empezarse de manera similar al artículo anterior, dándole a la chapa I una rotación “α” en sentido antihorario. Podremos ver la rotación de la chapa I reflejada en ambos ejes cartesianos (Fig. N°2).

_{Figura N°2}

La magnitud de los desplazamientos horizontal y vertical del punto “B” se determinan multiplicando la rotación que sufre la chapa I con las distancias vertical y horizontal respectivamente. Ya que el punto “B” se encuentra horizontal al polo de la chapa I, este solo presentará desplazamiento vertical, de magnitud “4α”.

La rotula en el punto “B” representa el punto de vinculación entre las chapas I y II el cual además sufre un desplazamiento único para ambas. Ya que la chapa II sufre traslación pura, sus diagramas de desplazamiento serán paralelos a los ejes cartesianos. Pero dicha traslación es vertical, por lo que la chapa solo presentará desplazamiento sobre el eje cartesiano horizontal y coincidirá con el eje cartesiano vertical, ya que su desplazamiento horizontal es nulo. Se traza a partir de la proyección del punto “B” el diagrama cartesiano de la chapa II (Fig. N°3).

_{Figura N°3}

Conocido el desplazamiento que sufre la chapa II, hemos llegado al caso en el que tanto el polo absoluto de las chapas II y III como el polo relativo entre ellas están en el infinito, por lo que se hace necesario realizar el diagrama auxiliar. En este punto, observamos que hemos llegado a la situación en la que no es posible, o al menos es poco práctico, intentar calcular directamente la magnitud del desplazamiento de la chapa III y el sentido de este (Fig. N°4). Por ello se realiza el diagrama auxiliar.

_{Figura N°4}

Construcción del diagrama auxiliar

Se trazan dos ejes perpendiculares, uno para el desplazamiento horizontal y otro para el desplazamiento vertical (Fig. N°5).

_{Figura N°5}

Sobre el par de ejes creado, se va a trazar el desplazamiento absoluto de la chapa cuyo desplazamiento es conocido (chapa II). En el caso de las bielas paralelas, se tiene un desplazamiento diferente para ambas chapas, por lo que debemos particularizar el punto “E” en dos puntos: “E2” para la chapa II y “E3” para la chapa III. Se tiene entonces un desplazamiento verticalmente hacia arriba de magnitud ”4α” para el punto “E2”, y el objetivo es calcular el desplazamiento de “E3” (Fig N°6).

_{Figura N°6}

Posteriormente, se traza por el origen “O” de los ejes de coordenadas una línea de referencia cuya dirección es perpendicular a la dirección del polo absoluto de la chapa incógnita, en este caso la chapa III. En otras palabras, dicha dirección representa el desplazamiento de la chapa III, la cual viene dada, en este caso, por la dirección de desplazamiento del empotramiento móvil en “F” (Fig. N°7).

_{Figura N°7}

Finalmente, trazaremos por el punto “E2” ya hallado anteriormente, una dirección perpendicular a la dirección del polo relativo entre las chapas II y III, es decir, una dirección perpendicular a las bielas paralelas en “E”. La intercepción entre ambas direcciones trazadas nos brinda el punto “E3”. El vector que va desde el origen hasta este punto representa el desplazamiento de la chapa III (Fig. N°8).

_{Figura N°8}

Ahora solo nos queda determinar la magnitud de las componentes horizontal y vertical de este desplazamiento para así reflejarlas en el diagrama cartesiano de desplazamiento del sistema. Para ello, empleamos una relación de triángulo, tomando la pendiente inversa de la barra "DE" y el desplazamiento vertical conocido. (Fig. N°9).

_{Figura N°9}

Conocidas la magnitud y dirección del desplazamiento de la chapa III, podemos terminar de realizar el diagrama cartesiano de desplazamiento del sistema material (Fig. N°10).

_{Figura N°10}

Los desplazamientos de todos los puntos del sistema han sido determinados de manera gráfica, y en caso de requerirse el desplazamiento de un punto específico, solo debe conocerse su distancia respecto al polo de la chapa sobre la cual se encuentra. Gracias al diagrama auxiliar, se logra trazar el diagrama para el caso de las chapas vinculadas mediante bielas paralelas que sufren traslación pura.

Antes de entrar en el tema del Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos, en la próxima publicación se abordará el Diagrama de Williot, el cual es un procedimiento gráfico que busca el mismo objetivo que los diagramas cartesianos de desplazamiento: hallar los desplazamientos de todos los puntos de una cadena cinemática de un grado de libertad, pero en este caso, todos los desplazamientos se muestran a partir de dos ejes coordenados (similar al diagrama auxiliar).

Conclusiones

Cuando se da el caso del Primer Teorema de los Polos entre dos chapas en el que tanto los polos absolutos como el relativo entre ambas se encuentran en el infinito, se hace necesario el uso del diagrama auxiliar, ya que no es posible determinar directamente el desplazamiento de una de las dos chapas.

El diagrama auxiliar consta de dos ejes perpendiculares que indican la magnitud del desplazamiento horizontal y vertical de los puntos de vinculación entre dos chapas mediante bielas paralelas, ya que ambos presentan diferente desplazamiento.