Cervantes Ciencias Vol. 110 p.1-2

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A raíz de los Fundamentos de Hilbert se podía definir una "geometría" eligiendo un conjunto de términos primitivos -que, puesto que se trata de una geometría, podríamos llamar también punto, línea, entre otros- y un conjunto coherente de axiomas, y deduciendo lógicamente las consecuencias de los axiomas, que son entonces teoremas de la geometría. Este tipo de consideraciones dieron lugar, en el siglo XIX y principios del XX, a geometrías desarguesianas, no desarguesianas, finitas, neutras, no arquimedianas e inversas.


Pronto se empezaron a describir (definir) a la manera de Hilbert estructuras matemáticas distintas de las geometrías. Así, Giuseppe Peano caracterizó los enteros positivos en 1.889 mediante los ya clásicos axiomas de Peano, y Hilbert, en 1.900, dio una caracterización de los números reales como un campo arquimédico completo ordenado.


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Los espacios topológicos, los anillos normados, los espacios de Hilbert y los retículos son algunos de los muchos ejemplos de estructuras matemáticas definidas por sistemas de axiomas. Estas estructuras, a diferencia de por ejemplo, la geometría euclidiana, los números naturales o los números reales, no caracterizan una entidad matemática única, sino que subsumen muchos objetos diferentes, normalmente infinitos, bajo el techo de un único conjunto de axiomas.


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Nicolas Bourbaki, uno de sus más hábiles practicantes y promotores, dio una elocuente descripción de la esencia del método axiomático en lo que fue quizás el apogeo de su poder, en 1950:


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En su artículo, Bourbaki presenta una visión panorámica de las matemáticas organizada en torno a lo que él llama estructuras madres -algebraicas, ordenadas y topológicas- y a diversas subestructuras y estructuras cruzadas. Esta perspectiva debió de ser muy atractiva, e incluso hechizante, para aquellos que crecían matemáticamente durante este periodo.


La matemática definitivamente enamora, y es por eso que desde mi blog siempre te hablo sobre esta importante rama del saber. Recuerda que en Hive soy @abdulmath.




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