Cervantes Ciencias Vol. 105 p. 2-2

image.png





image.png

En 1751, en una carta al matemático prusiano Christian Goldbach (1670-1764), el prolífico matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) conjeturó un método para contar las siguientes situaciones geométricas.


Se parte de un polígono de n lados (con n un número natural estrictamente mayor que 2). Tal polígono se llama convexo si siempre que P y Q son dos puntos en el interior del polígono, entonces todos los puntos en el segmento PQ están también en el interior del polígono como se puedes apreciar en la figura siguiente:


image.png

En la Figura siguiente podemos ver otro polígono no convexo de 5 lados, ya que algunos de los puntos del segmento PQ están en el exterior del mismo.


image.png

Consideremos ahora el polígono convexo dado por la siguiente figura:


image.png

Como podemos ver al lado izquierda hemos triangulado el interior del polígono dibujando los tres diagonales BD, AD y FD, que no se cruzan en el interior del polígono y al lado derecho vemos como damos otra triangulación del interior del polígono convexo, esta vez mediante las diagonales CE, BE y AE.


image.png

A Euler le interesaba determinar T n, el número total de formas en que se pueden dibujar n-3 diagonales en el interior de un polígono convexo de n lados de forma que no se crucen dos de las diagonales en el interior del polígono, y que el interior del polígono quede triangulado en n-2 triángulos. Euler calculó Tpara los primeros valores pequeños de n y consideró la relación Tn+1 / Tn.


image.png

En una correspondencia posterior con el matemático, físico y médico húngaro Johann Andreas von Segner (1704-1777), Euler sugirió este problema. Von Segner obtuvo una relación de recurrencia para T, calculando los resultados para n menor o igual a 20. Sin embargo, su solución no demostró, ni refutó, el método sugerido.


Von Segner envió sus resultados a Euler en 1756, sin darse cuenta de que sus respuestas eran incorrectas en los casos de n=15 y n=20, estos errores se debían a equivocaciones en sus cálculos aritméticos. Euler, por su parte, resolvió esencialmente la recurrencia, pero sin los detalles de una prueba.


image.png

Catalan escribió otros artículos que tratan de esta secuencia numérica, incluyendo uno en 1838 en el que determinó el número de formas en que una cadena de n+1 símbolos puede ser puesta entre paréntesis con n pares de paréntesis de manera que cada par rodee dos símbolos, una expresión entre paréntesis y un símbolo, o dos expresiones entre paréntesis.



El matemático alemán Eugen Otto Erwin Netto (1848-1919) atribuyó a Catalán las soluciones del problema de paréntesis mencionado y la triangulación de un polígono convexo, y el término número catalán parece haber surgido de estas citas.


image.png

Un hecho histórico poco conocido sobre los números catalanes es que fueron descubiertos independientemente en China por el matemático mongol Antu Ming (c. 1692-1763). En la década de 1730 dedujo varias recurrencias para los números catalanes y comenzó un libro titulado Efficient Methods for the Precise Values of Circular Functions (Métodos eficaces para los valores precisos de las funciones circulares), en el que se demuestra claramente su conocimiento de esta secuencia de números. El libro fue terminado por su alumno Chen Jixin en 1774, pero no se publicó hasta 1839.


image.png



Con seguridad, en muchas ocasiones hemos leído y escuchado respecto a la importancia de mantener una dieta adecuada, con un balance entre los nutrientes de diversa índole (proteínas, lípidos, carbohidratos, minerales y vitaminas) para asegurar el normal funcionamiento de los órganos y sistemas corporales, así como la necesidad de suficiente hidratación, dado que el agua es el solvente de mayor presencia en la célula, a los efectos del metabolismo.


image.png

image.png

image.png


Nuestra cuenta @cervanteshive está bastante activa en la red social de este pajarito. Te invitamos a mantenerte informado sobre nuestra colmena Hive y el mundo de las criptos. ¡Únete y participa!


Pie de página Cervantes.png

H2
H3
H4
3 columns
2 columns
1 column
Join the conversion now