Hola amigos, en esta oportunidad les voy a enseñar cómo calcular el volumen de un paraboloide mediante integrales dobles.
Para este caso vamos a conocer la ecuación del paraboloide al que le vamos a calcular el volumen:
Como se puede apreciar es una función de dos variables, por lo que su gráfica es el sistema tridimensional, para el caso de este post me voy a apoyar con el uso del software libre de geogebra 5.0, en el cual colocamos la ecuación en la entrada y nos genera automáticamente el gráfico, el cual les presento a continuación:
Cómo se puede observar en la imagen anterior, el paraboloide de la ecuación presentada representa la de un paraboloide elíptico, al cual se le va a calcular su volumen entre el paraboloide y el plano x,y.
Los pasos para calcular el volumen entre el paraboloide elíptico y el plano x,y son los siguientes:
[1] Hacemos z=0 para delimitar la región del plano x,y.
Tenemos que la región del plano x,y es una elipse que está limitada por el eje x en el siguiente rango:
Para saber la región limitada por el plano x,y, simplemente hacemos Z=0, y nos damos cuenta que las cotas para y son:
[2] Nos planteamos la integral de la siguiente forma:
[3] Se resuelve la integral realizando un cambio de sistemas, es decir cambiamos las variables del sistema cartesiano a un sistema de coordenadas polares, quedándonos lo siguiente:
Resolviendo esta integral por el método de funciones trigonométricas y aplicando el teorema fundamental del cálculo para integrales definidas nos queda que el volumen es igual a:
Referencias consultadas y recomendadas
Cálculo completo Vol 1 y 2 9na Edición Ron Larson & Bruce H. Edwards