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- simulación del método de Monte-Carlo,
- el muestreo de importancia,
- la regresión de mínimos cuadrados,
- la transformada integral,
- las técnicas de ecuaciones diferenciales parciales,
entre otros con el objetivo de encontrar soluciones razonables.
Muchos de estos métodos presentan una amplia gama de métodos introducidos recientemente para calcular expectativas condicionales para la fijación de precios de las opciones American/Bermudan y soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales estocásticas hacia atrás (BSDE).
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En este sentido podemos mencionar dos contribuciones importantes en está línea que hemos mencionado, a saber:
La primera es de P. Del Moral, B. Rémillard y S. Rubenthaler, ellos formulan un nuevo método de aproximación que combina simulaciones de Monte-Carlo de Monte-Carlo y técnicas de interpolación lineal que preservan la monotonicidad y la convexidad de la función de valor de la opción americana.
Así como también ofrecen tres clases de algoritmos para la valoración de las opciones americanas:
- los métodos deterministas y estocásticos basados en árboles,
- las técnicas tradicionales de diferenciales parciales (EDP) tradicionales, y
- el métodos de regresión funcional al estilo de Longstaff-Schwartz.
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La contribución de B. Rémillard, A. Hocquard, H. Langlois y N. Papageorgiou, ellos muestran una aproximación del precio de una opción de tipo americano basada en cobertura con los activos subyacentes en tiempos discretos, dando una solución óptima de que minimiza la varianza del error de cobertura. Una característica clave es que se evita la elección de la medida tradicional de riesgo neutro, ya que la varianza del de la cobertura se minimiza con la medida objetiva. Para ello se basaron en un experimento de Monte-Carlo en el que se evalúa el rendimiento de cobertura de la solución.
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La contrinución de C. Bender y J. Steiner, inicia con una una revisión de los enfoques de mínimos cuadrados de Monte-Carlo para la resolución de las BSDEs, amplianda la discusión propuesta por E. Gobet, J. P. Lemor y X. Warin. Posteriomente, dan un enfoque de martingala basada en funciones y muestran cómo simplificar el esquema de Monte-Carlo de mínimos cuadrados utilizando la propiedad de martingala proporcionada por las funciones base aleatorias, así como aportan diferentes resultados numéricos que muestran que su método tiene mejores propiedades de estabilidad que el procedimiento original de Longstaff-Schwartz original.
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En próximas entregas, les seguire ampliando un poco más el tema, conversando un poco más de la historia las matemáticas aplicadas a las finanzas, así com de sus metodos de aplicación. Si alguno está interesado en leer y ampliar más el tema, los invito a leer los siguientes libros:
- A. Doucet, J. F. G. de Freitas and N. J. Gordon (eds.) Sequential Monte Carlo Methods in Practice. New York: Springer-Verlag, 2001.
- G. Allaire. Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation (Numerical mathematics and scientific computation). Oxford university Press, USA, 2007
